Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2023

Se sospecha que un acuífero recibe aportes intermitentes de radón (${}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n}$). Para comprobarlo, se toman semanalmente medidas de la actividad radiactiva de muestras de agua. Una de esas medidas arroja un valor de $14\mathrm{B}\mathrm{q}$ para una muestra de un litro. Determine el valor de la medida que se consigue a la semana, para otra muestra de un litro, en cada una de las siguientes condiciones:
a) Si no hubiese ningún aporte de ${}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n}$ en el transcurso de esa semana.
b) Si el cuarto día de esa semana la concentración de ${}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n}$ en el acuífero experimentase un aumento súbito de $2\cdot {10}^{-16}$ gramos cada litro de agua.
Datos: Periodo de semidesintegración del ${}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n}$, $T_{1\mathrm{/}2}=\mathrm{3,8}\mathrm{d}\acute{\mathrm{ı}}\mathrm{a}\mathrm{s}$; Masa atómica del ${}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n}$, $M_{{}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n}}=222\mathrm{u}$; Número de Avogadro, $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$.

Recordemos primero la ley de desintegración radiactiva. El número de núcleos sin desintegrar decrece exponencialmente con el tiempo,

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$

y la actividad, que es el número de desintegraciones por unidad de tiempo, $A=\lambda N$, sigue la misma ley exponencial:

$A(t)=A_0{e}^{-\lambda t}$

La constante de desintegración $\lambda$ se relaciona con el periodo de semidesintegración mediante

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{3,8}\mathrm{d}\acute{\mathrm{ı}}\mathrm{a}\mathrm{s}}}=\mathrm{0,1824}\mathrm{d}\acute{\mathrm{ı}}\mathrm{a}{\mathrm{s}}^{-1}$

Expresada en el SI (tiempo en segundos), que necesitaremos en el apartado b),

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{3,8}\cdot 24\cdot 3600\mathrm{s}}}=\mathrm{2,11}\cdot {10}^{-6}{\mathrm{s}}^{-1}$



Si no hay aportes, la actividad de la muestra solo disminuye por desintegración. Partimos de $A_0=14\mathrm{B}\mathrm{q}$ y dejamos transcurrir una semana, $t=7\mathrm{d}\acute{\mathrm{ı}}\mathrm{a}\mathrm{s}$.

Aplicamos la ley de desintegración para la actividad:

$A(t)=A_0{e}^{-\lambda t}=A_0{2}^{-t\mathrm{/}{T}_{1\mathrm{/}2}}$

Sustituyendo los valores:

$A(7)=14\mathrm{B}\mathrm{q}\cdot 2^{-7\mathrm{/}\mathrm{3,8}}=14\mathrm{B}\mathrm{q}\cdot \mathrm{0,2789}$

$A(7)=\mathrm{3,90}\mathrm{B}\mathrm{q}$

Por tanto, sin aporte alguno la medida al cabo de una semana sería

$\boxed{{\displaystyle A(7\mathrm{d}\acute{\mathrm{ı}}\mathrm{a}\mathrm{s})\approx \mathrm{3,90}\mathrm{B}\mathrm{q}}}$



Ahora la actividad final tiene dos contribuciones independientes que medimos el día 7: la del radón que ya estaba en la muestra (la del apartado a) y la del radón aportado el día 4.

Contribución del radón inicial. Es exactamente la calculada en a), pues esos núcleos se desintegran durante los 7 días:

$A_1=\mathrm{3,90}\mathrm{B}\mathrm{q}$

Contribución del aporte. Primero hallamos cuántos núcleos de ${}^{222}\mathrm{R}\mathrm{n}$ se añaden por litro. La masa añadida es $m=2\cdot {10}^{-16}\mathrm{g}$, y con la masa molar $M=222\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$ y el número de Avogadro:

$N_{ap}={\displaystyle \frac{m}{M}}{N}_A={\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-16}\mathrm{g}}{222\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}}\cdot \mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$

$N_{ap}=\mathrm{5,42}\cdot {10}^5\mathrm{n}\acute{\mathrm{u}}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{s}$

En el instante del aporte (día 4) la actividad de esos núcleos es $A_{0,ap}=\lambda N_{ap}$ (usamos $\lambda$ en ${\mathrm{s}}^{-1}$ para obtener bequerelios):

$A_{0,ap}=\mathrm{2,11}\cdot {10}^{-6}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot \mathrm{5,42}\cdot {10}^5=\mathrm{1,14}\mathrm{B}\mathrm{q}$

Desde el día 4 hasta el día 7 transcurren $\mathrm{\Delta }t=3\mathrm{d}\acute{\mathrm{ı}}\mathrm{a}\mathrm{s}$, durante los cuales este radón también se desintegra:

$A_2=A_{0,ap}{e}^{-\lambda \mathrm{\Delta }t}=\mathrm{1,14}\mathrm{B}\mathrm{q}\cdot 2^{-3\mathrm{/}\mathrm{3,8}}=\mathrm{1,14}\mathrm{B}\mathrm{q}\cdot \mathrm{0,5786}$

$A_2=\mathrm{0,66}\mathrm{B}\mathrm{q}$

Actividad total medida el día 7. Sumamos ambas contribuciones:

$A_{tot}=A_1+A_2=\mathrm{3,90}\mathrm{B}\mathrm{q}+\mathrm{0,66}\mathrm{B}\mathrm{q}$

$\boxed{{\displaystyle A_{tot}\approx \mathrm{4,57}\mathrm{B}\mathrm{q}}}$

La medida con el aporte intermitente es mayor que la del apartado a), justamente lo que permitiría detectar la entrada de radón en el acuífero.