Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2024

Dos muestras, cada una de un radioisótopo distinto (radioisótopo 1 y radioisótopo 2) contienen en el momento de su preparación la misma masa del radioisótopo correspondiente. Las medidas de actividad de las muestras 1 y 2 para el instante inicial ($t=0$) y al cabo de un día arrojan los siguientes valores:

$$	$A_1(\mathrm{k}\mathrm{B}\mathrm{q})$	$A_2(\mathrm{k}\mathrm{B}\mathrm{q})$
$t=0$	10,00	11,70
$t=1\mathrm{d}$	8,90	10,77

a) Calcule el período de semidesintegración de cada radioisótopo.
b) Si $M_1$ y $M_2$ denotan las respectivas masas atómicas de los radioisótopos 1 y 2, determine el cociente $M_1\mathrm{/}{M}_2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{radiois}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La actividad decae exponencialmente igual que el número de núcleos:

$A(t)=A_0{e}^{-\lambda t}$

Tomando logaritmos neperianos entre los dos instantes medidos, con $t=1\text{ d}$:

$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{t}}\ln {\displaystyle \frac{A_0}{A(t)}}$





${\lambda }_1=\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{10,00}}{\mathrm{8,90}}}=\mathrm{0,1165}{\text{d}}^{-1}$

${\lambda }_2=\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{11,70}}{\mathrm{10,77}}}=\mathrm{0,0828}{\text{d}}^{-1}$

El periodo de semidesintegración se obtiene de la constante de desintegración:

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$

$T_{1\mathrm{/}2,1}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{0,1165}}}=\mathrm{5,95}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

$T_{1\mathrm{/}2,2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{0,0828}}}=\mathrm{8,37}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

El radioisótopo 1 tiene un periodo de semidesintegración de $\mathrm{5,95}$ días y el radioisótopo 2, de $\mathrm{8,37}$ días: el segundo decae más despacio aunque parta de una actividad mayor.



La actividad es proporcional al número de núcleos presentes:

$A=\lambda N$

y el número de núcleos de una masa $m$ de un isótopo de masa atómica $M$ es:

$N={\displaystyle \frac{m}{M}}{N}_A$

Como las dos muestras se prepararon con la misma masa, al dividir las actividades iniciales la masa y el número de Avogadro se simplifican:

${\displaystyle \frac{A_{0,1}}{A_{0,2}}}={\displaystyle \frac{{\lambda }_1{N}_1}{{\lambda }_2{N}_2}}={\displaystyle \frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}}\cdot {\displaystyle \frac{M_2}{M_1}}$

Se despeja el cociente pedido:

${\displaystyle \frac{M_1}{M_2}}={\displaystyle \frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}}\cdot {\displaystyle \frac{A_{0,2}}{A_{0,1}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1165}}{\mathrm{0,0828}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{11,70}}{\mathrm{10,00}}}$

${\displaystyle \frac{M_1}{M_2}}=\mathrm{1,65}$

La masa atómica del radioisótopo 1 es $\mathrm{1,65}$ veces la del radioisótopo 2.