Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Galicia · 2023

PREGUNTA 8. Resuelva este problema:
El ${}_{82}^{210}\mathrm{P}\mathrm{b}$ se transforma en polonio al emitir dos partículas beta y posteriormente, por emisión de una partícula alfa, se obtiene plomo.

a) Escriba las reacciones nucleares descritas.
b) El periodo de semidesintegración del ${}_{82}^{210}\mathrm{P}\mathrm{b}$ es de 22,3 años. Si teníamos inicialmente 3 moles de átomos de ese elemento y han transcurrido 100 años, calcule el número de núcleos radiactivos que quedan sin desintegrar y la actividad inicial de la muestra.

DATO: $N_A=\mathrm{6,02}\times {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{reacciones}}\mathbf{\text{nucleares}}\mathbf{\text{descritas.}}$

En una emisión beta negativa un neutrón del núcleo se transforma en un protón: el número másico no cambia y el número atómico aumenta en una unidad. En una emisión alfa se desprende un núcleo de helio, de modo que el número másico disminuye en cuatro unidades y el atómico en dos.

Partimos del plomo-210, de número atómico 82. Tras la primera desintegración beta se obtiene bismuto:

${}_{82}^{210}\text{Pb}⟶{}_{83}^{210}\text{Bi}+{}_{-1}^{0}e+\bar{\nu }$

Tras la segunda, polonio, que es el elemento que menciona el enunciado:

${}_{83}^{210}\text{Bi}⟶{}_{84}^{210}\text{Po}+{}_{-1}^{0}e+\bar{\nu }$

Y por emisión alfa del polonio se obtiene de nuevo plomo, ahora el isótopo 206, que es estable:

${}_{84}^{210}\text{Po}⟶{}_{82}^{206}\text{Pb}+{}_2^4\text{He}$

Se comprueba en las tres reacciones que los números másicos y los atómicos se conservan a cada lado de la flecha.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathrm{<mrow><msubsup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">82</mn><mn\; mathvariant="bold">210</mn></msubsup><mtext>Pb</mtext></mrow>}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{22,3}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{ten}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{amos}}\mathbf{\text{inicialmente}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{moles}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{elemento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{transcurrido}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos}}\mathbf{\text{radiactivos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{quedan}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{desintegrar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra.}}$

El número inicial de núcleos se obtiene del número de moles y del número de Avogadro:

$N_0=3\text{ mol}\cdot \mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}{\text{mol}}^{-1}=\mathrm{1,81}\cdot {10}^{24}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

La constante de desintegración sale del período de semidesintegración:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{\mathrm{22,3}}}=\mathrm{3,11}\cdot {10}^{-2}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

Aplicamos la ley de desintegración radiactiva con $t=100$ años:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}=\mathrm{1,81}\cdot {10}^{24}{e}^{-\mathrm{3,11}\cdot {10}^{-2}\cdot 100}$

$N=\mathrm{1,81}\cdot {10}^{24}{e}^{-\mathrm{3,11}}=\mathrm{8,07}\cdot {10}^{22}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Quedan sin desintegrar $\mathrm{8,07}\cdot {10}^{22}$ núcleos, un 4,5 % de los iniciales. Es coherente: 100 años son unos 4,5 períodos de semidesintegración, y $2^{-\mathrm{4,5}}=\mathrm{0,044}$.

Para la actividad inicial hay que expresar la constante de desintegración en ${\text{s}}^{-1}$, porque el becquerelio es una desintegración por segundo:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{3,11}\cdot {10}^{-2}}{365\cdot 24\cdot 3600}}=\mathrm{9,86}\cdot {10}^{-10}{\text{s}}^{-1}$

$A_0=\lambda N_0=\mathrm{9,86}\cdot {10}^{-10}\cdot \mathrm{1,81}\cdot {10}^{24}$

$A_0=\mathrm{1,78}\cdot {10}^{15}\text{ Bq}$

La actividad inicial de la muestra era de $\mathrm{1,78}\cdot {10}^{15}\text{ Bq}$.