Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Galicia · 2024

PREGUNTA 8. Problema de física del siglo XX. (2 puntos)
En una pieza extraída de una central nuclear existen ${10}^{20}$ núcleos de un material radioactivo con un período de semidesintegración de 29 años.

a) Calcule el número de núcleos que se desintegran en el primer año.
b) Si la pieza es considerada segura cuando su actividad es menor de 600 Bq, determine cuántos años deben transcurrir para alcanzar ese valor.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desintegran}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o.}}$

La constante de desintegración se obtiene del período de semidesintegración:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{29}}=\mathrm{2,39}\cdot {10}^{-2}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

El número de núcleos que quedan sin desintegrar al cabo de un año lo da la ley de desintegración radiactiva:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}={10}^{20}{e}^{-\mathrm{2,39}\cdot {10}^{-2}\cdot 1}$

$N={10}^{20}\cdot \mathrm{0,9764}=\mathrm{9,764}\cdot {10}^{19}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Los núcleos desintegrados son los que faltan respecto de los iniciales:

$\mathrm{\Delta }N=N_0-N={10}^{20}-\mathrm{9,764}\cdot {10}^{19}$

$\mathrm{\Delta }N=\mathrm{2,36}\cdot {10}^{18}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

En el primer año se desintegran $\mathrm{2,36}\cdot {10}^{18}$ núcleos, un 2,4 % de los iniciales. No sirve multiplicar la actividad inicial por un año: la actividad decrece durante ese año, así que hay que restar los núcleos que quedan, tal y como se ha hecho.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{considerada}}\mathbf{\text{segura}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{600}}\mathbf{\text{Bq,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{transcurrir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{valor.}}$

La actividad es el producto de la constante de desintegración por el número de núcleos, y el becquerelio es una desintegración por segundo, así que hay que pasar $\lambda$ a ${\text{s}}^{-1}$:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{2,39}\cdot {10}^{-2}}{365\cdot 24\cdot 3600}}=\mathrm{7,58}\cdot {10}^{-10}{\text{s}}^{-1}$

$A_0=\lambda N_0=\mathrm{7,58}\cdot {10}^{-10}\cdot {10}^{20}=\mathrm{7,58}\cdot {10}^{10}\text{ Bq}$

La actividad decae con el mismo exponencial que el número de núcleos:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow {\displaystyle \frac{A_0}{A}}=e^{\lambda t}$

$t={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\ln {\displaystyle \frac{A_0}{A}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,39}\cdot {10}^{-2}}}\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{7,58}\cdot {10}^{10}}{600}}$

Aquí conviene usar $\lambda$ en ${\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$, porque el resultado se pide en años:

$t={\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{1,26}\cdot {10}^8)}{\mathrm{2,39}\cdot {10}^{-2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{18,65}}{\mathrm{2,39}\cdot {10}^{-2}}}$

$t=\mathrm{7,80}\cdot {10}^2\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Deben transcurrir unos $\mathrm{7,80}\cdot {10}^2$ años, es decir, unos 780 años, para que la pieza pueda considerarse segura. Son algo más de 26 períodos de semidesintegración, lo que concuerda con que la actividad tenga que bajar en un factor $\mathrm{1,26}\cdot {10}^8\approx 2^{27}$.