Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2024

Para una prueba diagnóstica se utiliza una cierta cantidad del isótopo 99 del tecnecio (${}^{99}\mathrm{T}\mathrm{c}$) cuyo tiempo de semidesintegración es de $6\mathrm{h}$. Sabiendo que la actividad de la dosis que hay que inocular al paciente es de $5\cdot {10}^8\mathrm{B}\mathrm{q}$, determine:

a) La masa de isótopo que hay que inyectar al paciente.

b) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad sea de $1\cdot {10}^4\mathrm{B}\mathrm{q}$.

Datos: Masa atómica del ${}^{99}\mathrm{T}\mathrm{c}$, $M_{{}^{99}\mathrm{T}\mathrm{c}}=\mathrm{98,9}\mathrm{u}$; Número de Avogadro, $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}\mathrm{m}\mathrm{o}{\mathrm{l}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{inyectar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{paciente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La constante de desintegración se obtiene del periodo de semidesintegración, expresado en segundos:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\ln 2}{6\cdot 3600}}=\mathrm{3,21}\cdot {10}^{-5}{\text{s}}^{-1}$

La actividad es el número de desintegraciones por segundo, $A=\lambda N$, de donde se despeja el número de núcleos:

$N_0={\displaystyle \frac{A_0}{\lambda }}={\displaystyle \frac{5\cdot {10}^8}{\mathrm{3,21}\cdot {10}^{-5}}}=\mathrm{1,56}\cdot {10}^{13}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Ese número de núcleos se convierte en masa con la masa atómica y el número de Avogadro:

$m_0={\displaystyle \frac{N_0}{N_A}}M={\displaystyle \frac{\mathrm{1,56}\cdot {10}^{13}}{\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}}}\cdot \mathrm{98,9}=\mathrm{2,56}\cdot {10}^{-9}\text{ g}$

Hay que inyectar al paciente $\mathrm{2,56}\cdot {10}^{-9}\text{ g}$ de tecnecio 99, es decir, unos $\mathrm{2,6}\text{ ng}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{transcurrir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">4</mn></msup><mtext> Bq</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La actividad decae exponencialmente igual que el número de núcleos:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Se toman logaritmos neperianos y se despeja el tiempo:

$t={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\ln {\displaystyle \frac{A_0}{A}}$





$t={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3,21}\cdot {10}^{-5}}}\ln {\displaystyle \frac{5\cdot {10}^8}{1\cdot {10}^4}}=\mathrm{3,37}\cdot {10}^5\text{ s}$

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{3,37}\cdot {10}^5}{86400}}=\mathrm{3,9}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

Deben transcurrir $\mathrm{3,9}$ días, algo menos de dieciséis periodos de semidesintegración, para que la actividad baje hasta ${10}^4\text{ Bq}$.