Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2021

B.5 (2 puntos). Un isótopo de una muestra radiactiva posee un periodo de semidesintegración de $5730$ años.

a) Obtenga la vida media y la constante radiactiva del isótopo.

b) Si una muestra tiene $5\cdot {10}^{20}$ átomos radiactivos en el momento inicial, calcule la actividad inicial y el tiempo que debe transcurrir para que dicha actividad se reduzca a la décima parte.

$\mathbf{\text{B.5}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{radiactiva}}\mathbf{\text{posee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}5730\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}$

La ley fundamental de la desintegración radiactiva establece que el número de núcleos sin desintegrar, $N$, decrece exponencialmente con el tiempo:

$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$

donde $N_0$ es el número inicial de núcleos y $\lambda$ es la constante radiactiva (probabilidad de desintegración por unidad de tiempo). A partir de ella se definen dos tiempos característicos:

El periodo de semidesintegración $T_{1\mathrm{/}2}$, tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad ($N=N_0\mathrm{/}2$), y la vida media $\tau$, valor medio del tiempo de vida de un núcleo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vida}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{radiactiva}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo.}}$

Imponemos la condición que define el periodo de semidesintegración: cuando $t=T_{1\mathrm{/}2}$, queda la mitad de los núcleos iniciales,

${\displaystyle \frac{N_0}{2}}=N_0{e}^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}$

Simplificando $N_0$ y tomando logaritmos neperianos:

${\displaystyle \frac{1}{2}}=e^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}⟹\ln 2=\lambda T_{1\mathrm{/}2}$

de donde obtenemos la relación entre la constante radiactiva y el periodo:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}$

La vida media es la inversa de la constante radiactiva, $\tau ={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$, por lo que también puede escribirse:

$\tau ={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}={\displaystyle \frac{T_{1\mathrm{/}2}}{\ln 2}}$

Sustituyendo los valores (trabajamos primero en años, la unidad del dato):

$\tau ={\displaystyle \frac{T_{1\mathrm{/}2}}{\ln 2}}={\displaystyle \frac{5730\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\mathrm{0,693}}}=\mathrm{8266,64}\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}\mathrm{s}$

Para expresarla en el SI pasamos a segundos (tomando $1\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}=\mathrm{365,25}\cdot 24\cdot 3600\mathrm{s}=\mathrm{3,156}\cdot {10}^7\mathrm{s}$):

$\tau =\mathrm{8266,64}\cdot \mathrm{3,156}\cdot {10}^7\mathrm{s}=\mathrm{2,61}\cdot {10}^{11}\mathrm{s}$

$\boxed{{\displaystyle \tau =\mathrm{8266,64}\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}\mathrm{s}=\mathrm{2,61}\cdot {10}^{11}\mathrm{s}}}$

La constante radiactiva es su inversa:

$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{\tau }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,61}\cdot {10}^{11}\mathrm{s}}}=\mathrm{3,84}\cdot {10}^{-12}{\mathrm{s}}^{-1}$

o, equivalentemente, en años:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{5730\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}\mathrm{s}}}=\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-4}\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}$

$\boxed{{\displaystyle \lambda =\mathrm{3,84}\cdot {10}^{-12}{\mathrm{s}}^{-1}=\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-4}\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{tiene}}5\cdot {10}^{20}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tomos}}\mathbf{\text{radiactivos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{inicial,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{transcurrir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{reduzca}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cima}}\mathbf{\text{parte.}}$

La actividad $A$ mide el número de desintegraciones por unidad de tiempo y es proporcional al número de núcleos presentes:

$A=\mid {\displaystyle \frac{dN}{dt}}\mid =\lambda N$

En el instante inicial, con $N_0=5\cdot {10}^{20}$ núcleos, la actividad inicial vale:

$A_0=\lambda N_0=\mathrm{3,84}\cdot {10}^{-12}{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 5\cdot {10}^{20}=\mathrm{1,92}\cdot {10}^9\mathrm{B}\mathrm{q}$

donde la unidad de actividad en el SI es el becquerel ($1\mathrm{B}\mathrm{q}=1\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{i}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{n}\mathrm{/}\mathrm{s}$).

$\boxed{{\displaystyle A_0=\mathrm{1,92}\cdot {10}^9\mathrm{B}\mathrm{q}}}$

Como la actividad es proporcional al número de núcleos, también decrece exponencialmente con la misma constante:

$A(t)=\lambda N(t)=\lambda N_0{e}^{-\lambda t}=A_0{e}^{-\lambda t}$

Queremos el tiempo para el cual la actividad se reduce a la décima parte, es decir, $A={\displaystyle \frac{A_0}{10}}$:

${\displaystyle \frac{A_0}{10}}=A_0{e}^{-\lambda t}$

Simplificamos $A_0$, invertimos la fracción y tomamos logaritmos neperianos:

$e^{\lambda t}=10⟹\lambda t=\ln 10$

Despejando el tiempo:

$t={\displaystyle \frac{\ln 10}{\lambda }}=\tau \ln 10$

Sustituyendo los valores en el SI:

$t=\mathrm{2,61}\cdot {10}^{11}\mathrm{s}\cdot \mathrm{2,303}=\mathrm{6,00}\cdot {10}^{11}\mathrm{s}$

Expresado en años, dividimos entre $\mathrm{3,156}\cdot {10}^7\mathrm{s}\mathrm{/}\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}$:

$t={\displaystyle \frac{\mathrm{6,00}\cdot {10}^{11}\mathrm{s}}{\mathrm{3,156}\cdot {10}^7\mathrm{s}\mathrm{/}\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}}}\approx \mathrm{1,9}\cdot {10}^4\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}\mathrm{s}$

$\boxed{{\displaystyle t=\mathrm{6,00}\cdot {10}^{11}\mathrm{s}\approx 19000\mathrm{a}\tilde{\mathrm{n}}\mathrm{o}\mathrm{s}}}$

Por tanto, deben transcurrir unos $19000$ años para que la actividad de la muestra caiga a la décima parte de su valor inicial.