Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2023

Un objeto situado $30\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la izquierda de una lente produce una imagen con un aumento lateral de $-2$.

a) Obtenga la potencia de la lente.

b) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse el objeto para que el aumento pase a ser $+2$? Efectúe el trazado de rayos correspondiente a esta nueva situación.

Trabajamos con la convención de signos habitual para lentes delgadas (criterio DIN): la luz viaja de izquierda a derecha, las distancias se miden desde el centro óptico de la lente y son positivas hacia la derecha (sentido de propagación) y negativas hacia la izquierda. Por ello, un objeto real situado a la izquierda tiene distancia objeto negativa.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El aumento lateral relaciona la posición de la imagen con la del objeto mediante:

$m={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$

Como el objeto está $30\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la izquierda de la lente, su distancia objeto es:

$s_1=-30\mathrm{c}\mathrm{m}=-\mathrm{0,30}\mathrm{m}$

El dato de aumento es $m_1=-2$. Despejamos la distancia imagen:

$s_1^{\mathrm{\prime }}=m_1\cdot s_1=(-2)\cdot (-\mathrm{0,30}\mathrm{m})=+\mathrm{0,60}\mathrm{m}$

El signo positivo indica que la imagen se forma a la derecha de la lente (imagen real), y el aumento negativo nos dice que está invertida y es el doble de grande que el objeto.

Aplicamos ahora la ecuación de las lentes delgadas, que relaciona las distancias objeto e imagen con la distancia focal imagen $f^{\mathrm{\prime }}$:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}=P$

donde $P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$ es la potencia de la lente, expresada en dioptrías $({\mathrm{m}}^{-1})$ cuando las distancias se introducen en metros. Sustituyendo los valores:

$P={\displaystyle \frac{1}{s_1^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s_1}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,60}\mathrm{m}}}-{\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{0,30}\mathrm{m}}}=\mathrm{1,}\bar{6}{\mathrm{m}}^{-1}+\mathrm{3,}\bar{3}{\mathrm{m}}^{-1}$

Operando:

$P=5{\mathrm{m}}^{-1}$

Al ser la potencia positiva, se trata de una lente convergente. Por tanto,

$\boxed{{\displaystyle P=5\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{r}\acute{\mathrm{ı}}\mathrm{a}\mathrm{s}=5{\mathrm{m}}^{-1}}}$

cuya distancia focal imagen es $f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{P}}={\displaystyle \frac{1}{5{\mathrm{m}}^{-1}}}=\mathrm{0,20}\mathrm{m}=20\mathrm{c}\mathrm{m}$.



Ahora exigimos un aumento $m_2=+2$. El signo positivo indica que la imagen ha de ser derecha (no invertida) respecto al objeto. De nuevo, del aumento lateral:

$m_2={\displaystyle \frac{s_2^{\mathrm{\prime }}}{s_2}}=+2\Rightarrow s_2^{\mathrm{\prime }}=2s_2$

Llevamos esta relación a la ecuación de las lentes delgadas, manteniendo la misma lente (misma potencia $P=5{\mathrm{m}}^{-1}$):

${\displaystyle \frac{1}{s_2^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s_2}}=P$

${\displaystyle \frac{1}{2s_2}}-{\displaystyle \frac{1}{s_2}}=P$

Sumando las fracciones del primer miembro:

${\displaystyle \frac{1}{2s_2}}-{\displaystyle \frac{2}{2s_2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2s_2}}=P$

Despejando la distancia objeto:

$s_2=-{\displaystyle \frac{1}{2P}}=-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 5{\mathrm{m}}^{-1}}}=-\mathrm{0,10}\mathrm{m}=-10\mathrm{c}\mathrm{m}$

El objeto debe colocarse, pues, $10\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la izquierda de la lente. Por tanto,

$\boxed{{\displaystyle s_2=-\mathrm{0,10}\mathrm{m}(10\mathrm{c}\mathrm{m}\text{ a la izquierda de la lente})}}$

Comprobamos la naturaleza de la imagen calculando su posición:

$s_2^{\mathrm{\prime }}=2s_2=2\cdot (-\mathrm{0,10}\mathrm{m})=-\mathrm{0,20}\mathrm{m}=-20\mathrm{c}\mathrm{m}$

El signo negativo de $s_2^{\mathrm{\prime }}$ indica que la imagen se forma a la izquierda de la lente, en el mismo lado que el objeto: es una imagen virtual. Como además $m_2=+2>0$, la imagen es derecha y de doble tamaño. Esto es coherente con que el objeto se sitúa entre el foco objeto y la lente $(\mathrm{\mid }{s}_2\mathrm{\mid }=10\mathrm{c}\mathrm{m}<f^{\mathrm{\prime }}=20\mathrm{c}\mathrm{m})$, que es precisamente el funcionamiento de una lente convergente como lupa.

Trazado de rayos: tomamos un punto del objeto (extremo superior de la flecha) y dibujamos dos rayos característicos.

$\bullet$ Un rayo paralelo al eje óptico que, tras atravesar la lente, pasa por el foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$.

$\bullet$ Un rayo que pasa por el centro óptico de la lente, que no se desvía.

Como el objeto está dentro de la distancia focal, los rayos refractados divergen tras la lente y no se cortan a la derecha. Es la prolongación hacia atrás (líneas de trazos) de esos rayos la que se corta a la izquierda de la lente, formando una imagen virtual, derecha y mayor que el objeto, situada a $20\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la izquierda, como se aprecia en la figura: