Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2024

El prisma de sección triangular mostrado en la figura está hecho de un material con índice de refracción $n_p$. Se halla inmerso en aire, con índice de refracción igual a 1.



a) Determine el índice de refracción $n_p$ si se sabe que el ángulo límite para la reflexión total en el paso del prisma al aire vale ${\mathrm{45,58}}^{\circ }$.
b) Considere un rayo de luz que incide perpendicularmente sobre la superficie del prisma desde el aire, en el punto P. Elabore un diagrama mostrando su recorrido en el interior del prisma hasta que vuelve a emerger al aire, y calcule el ángulo con el que emerge.

El ángulo límite es el ángulo de incidencia para el cual el rayo refractado sale rasante, es decir, con $\widehat{r}={90}^{\circ }$. Aplicando la ley de Snell en el paso del prisma al aire:

$n_p\text{sen}\widehat{\lambda }=n_{\text{aire}}\text{sen}{90}^{\circ }$

$n_p={\displaystyle \frac{1}{\text{sen}\widehat{\lambda }}}={\displaystyle \frac{1}{\text{sen}{\mathrm{45,58}}^{\circ }}}=\mathrm{1,40}$

El índice de refracción del prisma es $n_p=\mathrm{1,40}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Elabore}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{mostrando}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{recorrido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{interior}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{prisma}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{vuelve}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{emerger}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{aire,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{emerge.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










El rayo incide perpendicularmente sobre la cara inclinada, de modo que entra en el prisma sin desviarse y viaja según la normal a esa cara.

Como el ángulo del vértice superior es ${30}^{\circ }$, esa dirección forma ${60}^{\circ }$ con la normal de la base.





En la base, el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite:

${60}^{\circ }>\widehat{\lambda }={\mathrm{45,58}}^{\circ }$

luego no hay refracción: el rayo sufre reflexión total y se refleja con el mismo ángulo. El rayo reflejado llega entonces a la cara vertical formando con su normal:

${90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$

Como ${30}^{\circ }<{\mathrm{45,58}}^{\circ }$, ahora sí emerge al aire. Aplicando de nuevo la ley de Snell:

$n_p\text{sen}{30}^{\circ }=1\cdot \text{sen}\widehat{r}$

$\text{sen}\widehat{r}=\mathrm{1,40}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,70}$

$\widehat{r}={\mathrm{44,4}}^{\circ }$

El rayo entra sin desviarse por $P$, se refleja totalmente en la base y sale por la cara vertical formando un ángulo de ${\mathrm{44,4}}^{\circ }$ con la normal.