Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Galicia · 2020

PREGUNTA 4. Desarrolle esta práctica:
Se estudia el fenómeno de la refracción en una lámina de vidrio haciendo incidir un rayo de luz con distintos ángulos sobre la superficie. En la tabla al margen aparecen los ángulos de incidencia y los ángulos de refracción.

i (º)	r (º) 27	16 36	21 48	27 57	31

a) Calcule el índice de refracción del material a partir de los datos de la tabla.
b) Indique en qué condiciones se produciría reflexión total.

DATOS: $n_{aire}$ = 1; $c=3\times {10}^8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tabla.}}$

Aplicamos la ley de Snell al paso del aire a la lámina, con $n_{\text{aire}}=1$:

$n_{\text{aire}}\text{sen}i=n\text{sen}r\Rightarrow n={\displaystyle \frac{\text{sen}i}{\text{sen}r}}$

Calculamos los senos de todas las medidas y el cociente en cada pareja:

$i{(}^{\circ })$	$27$	$36$	$48$	$57$ $r{(}^{\circ })$	$16$	$21$	$27$	$31$ $\text{sen}i$	$\mathrm{0,4540}$	$\mathrm{0,5878}$	$\mathrm{0,7431}$	$\mathrm{0,8387}$ $\text{sen}r$	$\mathrm{0,2756}$	$\mathrm{0,3584}$	$\mathrm{0,4540}$	$\mathrm{0,5150}$ $n$	$\mathrm{1,647}$	$\mathrm{1,640}$	$\mathrm{1,637}$	$\mathrm{1,628}$

La media de los cuatro valores es:

$\bar{n}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,647}+\mathrm{1,640}+\mathrm{1,637}+\mathrm{1,628}}{4}}=\mathrm{1,64}$

El mismo resultado se obtiene, con más fundamento, de la pendiente de la recta de ajuste, ya que la ley de Snell obliga a que la recta pase por el origen:



$n=\text{pendiente}=\mathrm{1,64}$

El índice de refracción de la lámina es $n=\mathrm{1,64}$, valor típico de un vidrio denso. La dispersión de las cuatro medidas es inferior al 1 %, lo que indica que son consistentes. La velocidad de la luz en ese material es:

$v={\displaystyle \frac{c}{n}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,64}}}=\mathrm{1,83}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{condiciones}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{producir}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total.}}$










Para que haya reflexión total hacen falta dos condiciones:

i) La luz debe ir del medio más refringente al menos refringente, es decir, del vidrio al aire. En el sentido de la experiencia de la tabla, del aire al vidrio, nunca se produce.

ii) El ángulo de incidencia debe ser mayor o igual que el ángulo límite, que es el que corresponde a un ángulo de refracción de ${90}^{\circ }$.





Calculamos el ángulo límite aplicando la ley de Snell con $r={90}^{\circ }$:

$n\text{sen}{\widehat{\mathrm{ı}}}_L=n_{\text{aire}}\text{sen}{90}^{\circ }$

$\text{sen}{\widehat{\mathrm{ı}}}_L={\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,64}}}=\mathrm{0,610}$

${\widehat{\mathrm{ı}}}_L=\arcsin \mathrm{0,610}={\mathrm{37,6}}^{\circ }$

Se produciría reflexión total si el rayo incidiese desde el interior del vidrio sobre la superficie de separación con el aire formando un ángulo con la normal mayor o igual que ${\mathrm{37,6}}^{\circ }$. Para ángulos menores el rayo se refracta y sale al aire; a partir de ese valor la luz queda íntegramente reflejada dentro del vidrio, que es el principio en el que se basan las fibras ópticas.