Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Galicia · 2020

PREGUNTA 2. Responda indicando y justificando la opción correcta:

2.1. Se sitúa un objeto a una distancia de 20 cm a la izquierda de una lente delgada convergente de distancia focal 10 cm. La imagen que se forma es: a) de mayor tamaño, real, derecha; b) de igual tamaño, virtual, invertida; c) de igual tamaño, real, invertida.
2.2. Un protón y una partícula $\alpha$ entran perpendicularmente en el seno de un campo magnético estacionario y uniforme de inducción, $\vec{B}$, describiendo trayectorias circulares de igual radio. El cociente entre las velocidades de la partícula $\alpha$ y del protón, $v_{\alpha }\mathrm{/}{v}_p$, es: a) 0,5; b) 2; c) 8. DATOS: $m_{\alpha }=4m_p$; $q_{\alpha }=2q_p$.

$\mathbf{\text{2.1.}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{izquierda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{delgada}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{es:}}$

La respuesta correcta es la c): de igual tamaño, real, invertida.

Con el criterio de signos habitual, y como el objeto está a la izquierda de la lente:

$s=-20\text{ cm}{f}^{\mathrm{\prime }}=+10\text{ cm}$

Aplicamos la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{-20}}={\displaystyle \frac{2-1}{20}}={\displaystyle \frac{1}{20}}$

$s^{\mathrm{\prime }}=+20\text{ cm}$

Al ser $s^{\mathrm{\prime }}>0$ la imagen se forma al otro lado de la lente: es real y se puede recoger en una pantalla. El aumento lateral es:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{20}{-20}}=-1$

El signo negativo indica que la imagen es invertida y el valor absoluto igual a la unidad, que tiene el mismo tamaño que el objeto. Es la situación simétrica característica de la lente convergente: objeto y imagen a $2f^{\mathrm{\prime }}$ de la lente.



La respuesta correcta es la a): 0,5.

La fuerza magnética hace de fuerza centrípeta, de donde sale el radio de la trayectoria:

$qvB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{R}}\Rightarrow R={\displaystyle \frac{mv}{qB}}$

Que los dos radios sean iguales, con el mismo campo, obliga a que:

${\displaystyle \frac{m_{\alpha }{v}_{\alpha }}{q_{\alpha }}}={\displaystyle \frac{m_p{v}_p}{q_p}}$

Sustituimos los datos $m_{\alpha }=4m_p$ y $q_{\alpha }=2q_p$:

${\displaystyle \frac{4m_p{v}_{\alpha }}{2q_p}}={\displaystyle \frac{m_p{v}_p}{q_p}}\Rightarrow 2v_{\alpha }=v_p$

${\displaystyle \frac{v_{\alpha }}{v_p}}=\mathrm{0,5}$

La partícula alfa debe entrar con la mitad de la velocidad del protón. Se descarta la opción b), 2, que corresponde a invertir el cociente, y la c), 8, a multiplicar en lugar de dividir las relaciones de masa y carga.