Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Galicia · 2022

PREGUNTA 4. Desarrolle esta práctica:
Con los datos de las distancias objeto, $s$, e imagen, $s^{\mathrm{\prime }}$, de una lente convergente representados en la tabla adjunta:

Nº exp.	1	2	3	4 $s$ (cm)	11,5	12,7	15,4	17,2 $s^{\mathrm{\prime }}$ (cm)	56,0	35,5	23,6	20,1

a) represente gráficamente $1\mathrm{/}{s}^{\mathrm{\prime }}$ frente a $1\mathrm{/}s$;
b) determine el valor de la potencia de la lente.

Con las distancias objeto e imagen medidas como valores positivos, la ecuación de la lente delgada se escribe:

${\displaystyle \frac{1}{s}}+{\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}=P$

Despejando $1\mathrm{/}{s}^{\mathrm{\prime }}$ se obtiene la ecuación de una recta:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}=-{\displaystyle \frac{1}{s}}+{\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

Comparando con $y=mx+n$, la pendiente debe valer exactamente $-1$ y la ordenada en el origen es la potencia de la lente. Calculamos los inversos de las medidas:

Nº exp.	$1$	$2$	$3$	$4$ $s$ (cm)	$\mathrm{11,5}$	$\mathrm{12,7}$	$\mathrm{15,4}$	$\mathrm{17,2}$ $s^{\mathrm{\prime }}$ (cm)	$\mathrm{56,0}$	$\mathrm{35,5}$	$\mathrm{23,6}$	$\mathrm{20,1}$ $1\mathrm{/}s({\text{cm}}^{-1})$	$\mathrm{0,0870}$	$\mathrm{0,0787}$	$\mathrm{0,0649}$	$\mathrm{0,0581}$ $1\mathrm{/}{s}^{\mathrm{\prime }}({\text{cm}}^{-1})$	$\mathrm{0,0179}$	$\mathrm{0,0282}$	$\mathrm{0,0424}$	$\mathrm{0,0498}$

Los cuatro puntos se alinean sobre una recta decreciente. Un ajuste libre de los datos da una pendiente de $-\mathrm{1,09}$, compatible con el $-1$ que exige la teoría dentro del error experimental, de modo que se traza la recta con pendiente $-1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}$

La ordenada en el origen de la recta es la potencia buscada. Como la pendiente está fijada en $-1$, cada experiencia da un valor de la ordenada:

${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{s}}+{\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}$

Nº exp.	$1$	$2$	$3$	$4$ $1\mathrm{/}{f}^{\mathrm{\prime }}({\text{cm}}^{-1})$	$\mathrm{0,1048}$	$\mathrm{0,1069}$	$\mathrm{0,1073}$	$\mathrm{0,1079}$

La media de los cuatro valores es:

${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1048}+\mathrm{0,1069}+\mathrm{0,1073}+\mathrm{0,1079}}{4}}=\mathrm{0,1067}{\text{cm}}^{-1}$

La dioptría es el inverso del metro, así que hay que pasar la distancia focal a metros:

$f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,1067}}}=\mathrm{9,37}\text{ cm}=\mathrm{9,37}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{9,37}\cdot {10}^{-2}}}$

$P=\mathrm{10,7}\text{ D}$

La potencia de la lente es $\mathrm{10,7}$ dioptrías, con una distancia focal de $\mathrm{9,37}$ cm. El signo positivo confirma que se trata de una lente convergente, como dice el enunciado.