Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Galicia · 2023

PREGUNTA 8. Resuelva este problema:
Un objeto de 4 cm de altura está situado 20 cm delante de una lente delgada divergente de distancia focal 12 cm.

a) Determine la posición y el tamaño de la imagen.
b) Dibuje un esquema (marcha de rayos) con la posición del objeto, la lente y la imagen.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}$

Con el criterio de signos habitual, el objeto está delante de la lente y la distancia focal de una lente divergente es negativa:

$s=-20\text{ cm}{f}^{\mathrm{\prime }}=-12\text{ cm}y=4\text{ cm}$

Aplicamos la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{-12}}+{\displaystyle \frac{1}{-20}}=-{\displaystyle \frac{5+3}{60}}=-{\displaystyle \frac{8}{60}}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{7,5}\text{ cm}$

El aumento lateral es:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{7,5}}{-20}}=+\mathrm{0,375}$

Y el tamaño de la imagen:

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=\mathrm{0,375}\cdot 4=\mathrm{1,5}\text{ cm}$

La imagen se forma a 7,5 cm de la lente, en el mismo lado que el objeto, y mide 1,5 cm. Al ser $s^{\mathrm{\prime }}<0$ es virtual, y al ser $0<\beta <1$ es derecha y menor que el objeto. Una lente divergente da siempre este tipo de imagen, sea cual sea la posición del objeto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esquema}}\mathbf{\text{(marcha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos)}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}$

Trazamos dos rayos desde el extremo del objeto: el paralelo al eje óptico, que emerge divergiendo como si viniese del foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$ —que en una lente divergente está en el mismo lado que el objeto—, y el que pasa por el centro óptico, que no se desvía. Los rayos emergentes divergen, así que la imagen se localiza prolongándolos hacia atrás:



La figura confirma los tres resultados del apartado anterior: la imagen queda entre la lente y el objeto, del mismo lado, derecha y de menor tamaño.