Ejercicio resuelto de Óptica · Física · País Vasco · 2020

A.4.- En un laboratorio se estudian las características de una lente perteneciente a una cámara de fotos. Se sabe que la lente tiene una distancia focal cuyo valor absoluto es $\mathrm{\mid }f\mathrm{\mid }=8cm$. Si se sitúa un objeto a 40 mm de la lente, se obtiene una imagen derecha y de doble tamaño que el objeto.

a) Determina si la lente es convergente o divergente
b) Determina la posición de la imagen, y realiza un trazado de rayos donde se señale claramente la posición y el tamaño, tanto del objeto como de la imagen.
c) ¿Es la imagen virtual o real?

Se emplea el criterio de signos habitual: la luz viaja de izquierda a derecha y las distancias se miden desde el centro óptico, positivas hacia la derecha. El objeto está en $s=-40\text{ mm}=-4\text{ cm}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{divergente.}}$

La clave está en el tamaño de la imagen. Una lente divergente da siempre, de un objeto real, una imagen virtual, derecha y de MENOR tamaño que el objeto, sea cual sea su posición. Como aquí la imagen es del doble de tamaño, la lente no puede ser divergente.

La lente es convergente, y por tanto su distancia focal imagen es positiva, $f^{\mathrm{\prime }}=+8\text{ cm}$. Que la imagen sea además derecha exige que el objeto esté entre el foco y la lente, y en efecto $4\text{ cm}<8\text{ cm}$: la lente está funcionando como una lupa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{se}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{ale}}\mathbf{\text{claramente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{tanto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}$

Que la imagen sea derecha y del doble de tamaño significa que el aumento lateral vale $+2$, y de ahí sale directamente la posición:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=2\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=2s=2(-4)=-8\text{ cm}$

Puede comprobarse con la ecuación de las lentes delgadas, que además confirma el signo de la focal obtenido en el apartado anterior:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{-8}}-{\displaystyle \frac{1}{-4}}=-{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}=+8\text{ cm}$



La imagen se forma a $8\text{ cm}$ de la lente, del mismo lado que el objeto, y mide el doble que él. Casualmente coincide con la posición del foco objeto, porque el objeto está justo a media distancia focal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{virtual}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{real?}}$

Es virtual. El signo negativo de $s^{\mathrm{\prime }}$ lo dice ya: la imagen queda a la izquierda de la lente, en el mismo lado del que procede la luz, adonde los rayos emergentes no llegan nunca. Como muestra el trazado, esos rayos divergen tras atravesar la lente y lo que se corta es su prolongación hacia atrás.

En consecuencia, la imagen no puede recogerse sobre una pantalla ni sobre el sensor de una cámara; solo puede observarse mirando a través de la lente, que es justamente lo que se hace con una lupa. Para que esta lente sirviera como objetivo fotográfico habría que alejar el objeto más allá del foco, a más de $8\text{ cm}$, con lo que la imagen pasaría a ser real e invertida.