Ejercicio resuelto de Óptica · Física · País Vasco · 2021

A.3.- Se dispone de una lente convergente de distancia focal 30 cm.
Realizar el diagrama correspondiente y determinar las características (real-virtual, derecha-invertida, aumentada-reducida), la posición y el tamaño de la imagen formada por la lente en los dos casos siguientes:

a) Cuando un objeto de 20 cm se encuentra a 70 cm de la lente.
b) Cuando un objeto de 20 cm se encuentra a 20 cm de la lente.

Se emplea el criterio de signos habitual: la luz viaja de izquierda a derecha y las distancias se miden desde el centro óptico, positivas hacia la derecha. Para una lente convergente, $f^{\mathrm{\prime }}=+30\text{ cm}$.

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}};\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Cuando}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{70}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}$

El objeto está en $s=-70\text{ cm}$, más allá del doble de la distancia focal.

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{30}}-{\displaystyle \frac{1}{70}}={\displaystyle \frac{7-3}{210}}={\displaystyle \frac{4}{210}}$

$s^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{52,5}\text{ cm}$

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{\mathrm{52,5}}{-70}}=-\mathrm{0,75}$

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=-\mathrm{0,75}\cdot 20=-15\text{ cm}$



La imagen se forma a $\mathrm{52,5}\text{ cm}$ a la derecha de la lente y mide $15\text{ cm}$. El signo positivo de $s^{\mathrm{\prime }}$ indica que los rayos se cortan realmente, de modo que la imagen es real y podría recogerse en una pantalla; el signo negativo del aumento, que está invertida; y su valor absoluto, menor que la unidad, que es más pequeña que el objeto. Es la situación de una cámara fotográfica.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Cuando}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}$

Ahora el objeto está en $s=-20\text{ cm}$, más cerca de la lente que su foco.

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{30}}-{\displaystyle \frac{1}{20}}={\displaystyle \frac{2-3}{60}}=-{\displaystyle \frac{1}{60}}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-60\text{ cm}$

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-60}{-20}}=+3$

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=3\cdot 20=60\text{ cm}$



La imagen se forma a $60\text{ cm}$ a la izquierda de la lente, del mismo lado que el objeto, y mide $60\text{ cm}$. El signo negativo de $s^{\mathrm{\prime }}$ indica que los rayos emergentes no llegan a cortarse y que lo que se corta es su prolongación: la imagen es virtual. El aumento positivo y mayor que uno dice que es derecha y tres veces mayor. Es el funcionamiento de la lente como lupa.

La comparación de los dos apartados resume el comportamiento de una lente convergente: con el objeto fuera de la distancia focal da imágenes reales e invertidas, y con el objeto dentro de ella, virtuales, derechas y aumentadas.