Ejercicio resuelto de Óptica · Física · País Vasco · 2022

A.4.- Sean dos medios A y B de índices de refracción $n_A$ y $n_B$, respectivamente. Un rayo de luz de frecuencia $\mathrm{6,04}\times {10}^{14}Hz$ incide desde el medio A hacia el medio B, verificándose que el ángulo límite para la reflexión total es ${\mathrm{45,58}}^0$. Sabiendo que $n_A-n_B=\mathrm{0,6}$; determine:

a) Los índices de refracción $n_A$ y $n_B$ de ambos medios.
b) Las longitudes de onda del rayo de luz incidente en los medios A y B

Datos:
$c=3\times {10}^{8}m\cdot s^{-1}$

Que exista ángulo límite para la reflexión total al pasar de $A$ a $B$ indica ya que $A$ es el medio más refringente, $n_A>n_B$. El ángulo límite es aquel para el que el rayo refractado sale rasante a la superficie, con ${90}^{\circ }$ de refracción:

$n_A\mathrm{sen}{\mathrm{45,58}}^{\circ }=n_B\mathrm{sen}{90}^{\circ }=n_B$

$n_B=n_A\mathrm{sen}{\mathrm{45,58}}^{\circ }=\mathrm{0,7142}{n}_A$

Se lleva esta relación a la segunda condición del enunciado, que es lo que cierra el sistema:

$n_A-n_B=\mathrm{0,6}\Rightarrow n_A-\mathrm{0,7142}{n}_A=\mathrm{0,6}\Rightarrow n_A(1-\mathrm{0,7142})=\mathrm{0,6}$

$n_A={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2858}}}=\mathrm{2,10}$

$n_B=n_A-\mathrm{0,6}=\mathrm{2,10}-\mathrm{0,6}=\mathrm{1,50}$

Los índices de refracción valen $n_A=\mathrm{2,10}$ y $n_B=\mathrm{1,50}$. Ambos son mayores que la unidad, como debe ser, y el primero es del orden del del diamante mientras que el segundo es el típico del vidrio.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{longitudes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{incidente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{medios}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B.}}$

La frecuencia de la luz la impone el foco emisor y no cambia al pasar de un medio a otro; lo que cambia es la velocidad de propagación y, con ella, la longitud de onda. Combinando la definición de índice de refracción con la relación entre velocidad, frecuencia y longitud de onda:

$n={\displaystyle \frac{c}{v}};v=\lambda f\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{c}{nf}}$

${\lambda }_A={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{2,10}\cdot \mathrm{6,04}\cdot {10}^{14}}}=\mathrm{2,37}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

${\lambda }_B={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,50}\cdot \mathrm{6,04}\cdot {10}^{14}}}=\mathrm{3,31}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

En el medio $A$ la longitud de onda es de $\mathrm{2,37}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$ y en el $B$, de $\mathrm{3,31}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$. En el vacío esa misma luz tendría $\mathrm{4,97}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$: la longitud de onda es tanto menor cuanto más refringente es el medio, y su cociente coincide con el de los índices, ${\lambda }_B\mathrm{/}{\lambda }_A=n_A\mathrm{/}{n}_B=\mathrm{1,4}$.