Ejercicio resuelto de Óptica · Física · País Vasco · 2021

A4.- Un rayo de luz, de longitud de onda $600\mathrm{n}\mathrm{m}$, incide con un ángulo de incidencia de 30º sobre un cristal de doble cara de grosor de $3\mathrm{c}\mathrm{m}$.

a) Obtén el ángulo que forma con respecto a la normal el rayo refractado.
b) ¿Cuánto vale la velocidad de la luz mientras atraviesa el cristal?
c) Calcula el tiempo que necesita la luz en atravesar el cristal.

Datos:
$c=3\cdot {10}^8{\displaystyle \frac{m}{s}}$; $n_{aire}=1$; $n_{cristal}=\mathrm{1,5}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obt}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{refractado.}}$










Se aplica la ley de Snell en la primera cara del cristal:

$n_{aire}\mathrm{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n_{cristal}\mathrm{sen}\widehat{r}$

$\mathrm{sen}\widehat{r}={\displaystyle \frac{1\cdot \mathrm{sen}{30}^{\circ }}{\mathrm{1,5}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,333}$

$\widehat{r}=\arcsin \mathrm{0,333}={\mathrm{19,47}}^{\circ }$





El rayo refractado forma ${\mathrm{19,47}}^{\circ }$ con la normal. Al pasar a un medio más refringente se acerca a ella, como corresponde. Obsérvese, de paso, que al salir por la segunda cara vuelve a formar ${30}^{\circ }$ con la normal: una lámina de caras paralelas no cambia la dirección del rayo, solo lo desplaza lateralmente.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{mientras}}\mathbf{\text{atraviesa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cristal?}}$

De la definición de índice de refracción:

$n={\displaystyle \frac{c}{v}}\Rightarrow v={\displaystyle \frac{c}{n}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,5}}}$

$v=2\cdot {10}^8\text{ m/s}$

Dentro del cristal la luz se propaga a $2\cdot {10}^8\text{ m/s}$, dos tercios de su velocidad en el vacío. La frecuencia no cambia, de modo que la longitud de onda pasa de $600\text{ nm}$ a $\lambda \mathrm{/}n=400\text{ nm}$; el color que percibiría un observador sigue siendo el mismo.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{atravesar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cristal.}}$

Dentro del cristal la luz recorre en línea recta y con velocidad constante el camino oblicuo, que no es el grosor sino la hipotenusa del triángulo rectángulo que lo tiene por cateto:

$\cos \widehat{r}={\displaystyle \frac{e}{d}}\Rightarrow d={\displaystyle \frac{e}{\cos \widehat{r}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}}{\cos {\mathrm{19,47}}^{\circ }}}=\mathrm{0,0318}\text{ m}$

$t={\displaystyle \frac{d}{v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0318}}{2\cdot {10}^8}}=\mathrm{1,59}\cdot {10}^{-10}\text{ s}$

La luz tarda $\mathrm{1,59}\cdot {10}^{-10}\text{ s}$ en atravesar el cristal, es decir, algo más de una décima de nanosegundo. Recorrer los mismos $3\text{ cm}$ en el vacío y en línea recta le habría costado $\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-10}\text{ s}$: el retraso se debe tanto a la menor velocidad como al camino más largo.