Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Galicia · 2022

PREGUNTA 4. Desarrolle esta práctica:
En el laboratorio de física se monta un experimento para determinar el índice de refracción de una lámina de vidrio haciendo incidir rayos de luz con distintos ángulos de incidencia ${\theta }_1$ y midiendo en cada caso el ángulo de refracción ${\theta }_2$.

${\theta }_1{(}^{\circ })$	18	24	32	40	50 ${\theta }_2{(}^{\circ })$	12	15	20	25	30

a) ¿En qué ley física nos basaremos para hacerlo?
b) Determine el índice de refracción de la lámina a partir de los datos experimentales mostrados en la tabla.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sica}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{basaremos}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{hacerlo?}}$

Nos basamos en la ley de Snell de la refracción, que relaciona los ángulos de incidencia y de refracción con los índices de refracción de los dos medios:

$n_1\text{sen}{\theta }_1=n_2\text{sen}{\theta }_2$

Los dos ángulos se miden respecto de la normal a la superficie de separación. Como la luz llega desde el aire, cuyo índice es la unidad, y $n$ es el índice del vidrio:

$\text{sen}{\theta }_1=n\text{sen}{\theta }_2\Rightarrow n={\displaystyle \frac{\text{sen}{\theta }_1}{\text{sen}{\theta }_2}}$

La ley de Snell es consecuencia del principio de Huygens: al pasar a un medio en el que la luz se propaga más despacio, los frentes de onda se acercan a la normal, y el índice de refracción es precisamente el cociente entre las dos velocidades de propagación:

$n={\displaystyle \frac{c}{v}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{experimentales}}\mathbf{\text{mostrados}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tabla.}}$

Calculamos los senos de todas las medidas y el cociente en cada pareja:

${\theta }_1{(}^{\circ })$	$18$	$24$	$32$	$40$	$50$ ${\theta }_2{(}^{\circ })$	$12$	$15$	$20$	$25$	$30$ $\text{sen}{\theta }_1$	$\mathrm{0,3090}$	$\mathrm{0,4067}$	$\mathrm{0,5299}$	$\mathrm{0,6428}$	$\mathrm{0,7660}$ $\text{sen}{\theta }_2$	$\mathrm{0,2079}$	$\mathrm{0,2588}$	$\mathrm{0,3420}$	$\mathrm{0,4226}$	$\mathrm{0,5000}$ $n$	$\mathrm{1,486}$	$\mathrm{1,572}$	$\mathrm{1,549}$	$\mathrm{1,521}$	$\mathrm{1,532}$

La media de los cinco valores es:

$\bar{n}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,486}+\mathrm{1,572}+\mathrm{1,549}+\mathrm{1,521}+\mathrm{1,532}}{5}}=\mathrm{1,53}$

Es preferible, sin embargo, obtenerlo de la pendiente de la recta de ajuste, porque así todas las medidas pesan según su magnitud y no se sobrevalora la primera, que es la de ángulos más pequeños y por tanto la de mayor error relativo. La ley de Snell obliga a que la recta pase por el origen:



$n=\text{pendiente}=\mathrm{1,53}$

El índice de refracción de la lámina es $n=\mathrm{1,53}$, valor típico de un vidrio común. La velocidad de la luz en su interior es:

$v={\displaystyle \frac{c}{n}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,53}}}=\mathrm{1,96}\cdot {10}^8\text{ m/s}$