Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Galicia · 2021

PREGUNTA 8. Resuelva este problema:
Una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, de índice de refracción 1,4, está en el aire, de índice de refracción 1,0. Un rayo de luz monocromática de frecuencia $\mathrm{4,3}\times {10}^{14}$ Hz incide en la lámina desde el aire con un ángulo de 30° respecto a la normal a la superficie de separación de los dos medios. Calcule:

a) la longitud de onda del rayo refractado;
b) el ángulo de refracción.

DATO: $c=3\times {10}^8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{refractado;}}$

Al pasar de un medio a otro la frecuencia de la onda no cambia, porque la impone el foco emisor. Lo que cambia es la velocidad de propagación, y con ella la longitud de onda.

La velocidad de la luz en el vidrio se obtiene de su índice de refracción:

$n={\displaystyle \frac{c}{v}}\Rightarrow v={\displaystyle \frac{c}{n}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,4}}}$

$v=\mathrm{2,14}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

Y la longitud de onda dentro del vidrio:

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,14}\cdot {10}^8}{\mathrm{4,3}\cdot {10}^{14}}}$

$\lambda =\mathrm{4,98}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=498\text{ nm}$

La longitud de onda del rayo refractado es $\mathrm{4,98}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$. En el aire era

${\lambda }_0={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{4,3}\cdot {10}^{14}}}=\mathrm{6,98}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

de modo que la longitud de onda se ha reducido en un factor $n=\mathrm{1,4}$, como debe ser: $\lambda ={\lambda }_0\mathrm{/}n$. El color de la luz, que depende de la frecuencia, no cambia.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$










Aplicamos la ley de Snell al paso del aire al vidrio:

$n_{\text{aire}}\text{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n_v\text{sen}\widehat{r}$

$\text{sen}\widehat{r}={\displaystyle \frac{n_{\text{aire}}\text{sen}\widehat{\mathrm{ı}}}{n_v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,0}\cdot \text{sen}{30}^{\circ }}{\mathrm{1,4}}}$

$\text{sen}\widehat{r}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,500}}{\mathrm{1,4}}}=\mathrm{0,357}$





$\widehat{r}=\arcsin \mathrm{0,357}={\mathrm{20,9}}^{\circ }$

El ángulo de refracción es ${\mathrm{20,9}}^{\circ }$. Al pasar a un medio más refringente el rayo se acerca a la normal, de modo que el ángulo de refracción resulta menor que el de incidencia, como corresponde.

Al tratarse de una lámina de caras planas y paralelas, el rayo volverá a refractarse al salir por la cara inferior y emergerá otra vez con ${30}^{\circ }$, paralelo al incidente pero desplazado lateralmente.