Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2023

Un rayo de luz incide sobre la cara izquierda del prisma de la figura, el cual está construido con un material cuyo índice de refracción vale $\mathrm{1,66}$.
a) Determine los ángulos $\alpha$ y $\beta$ de la trayectoria que sigue el rayo de luz que entra en el prisma desde el aire con un ángulo de incidencia de ${50}^{\circ }$.
b) Calcule el ángulo límite con el que deberá incidir desde el aire el rayo de luz para que este no emerja del prisma.

Dato: Índice de refracción del aire, $n=1$.

El prisma es equilátero, por lo que su ángulo en el vértice superior (ángulo del prisma) vale $A={60}^{\circ }$.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulos}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{y}}\mathit{\beta }\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{entra}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{prisma}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">50</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\circ </mo></msup>}\mathrm{.}$

Aplicamos la ley de Snell de la refracción en la cara izquierda (paso aire $\to$ prisma):

$n_{\text{aire}}\mathrm{sen}i=n\mathrm{sen}\alpha$

Despejando el ángulo refractado $\alpha$ dentro del prisma:

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{n_{\text{aire}}\mathrm{sen}i}{n}}={\displaystyle \frac{1\cdot \mathrm{sen}{50}^{\circ }}{\mathrm{1,66}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,766}}{\mathrm{1,66}}}=\mathrm{0,4615}$

$\alpha =\mathrm{arcsen}(\mathrm{0,4615})={\mathrm{27,48}}^{\circ }$

$\boxed{{\displaystyle \alpha \approx {\mathrm{27,5}}^{\circ }}}$

Para obtener $\beta$ necesitamos primero el ángulo de incidencia $r_2$ sobre la cara derecha (cara de salida). En un prisma, los ángulos refractado en la primera cara y de incidencia en la segunda cara cumplen la relación geométrica:

$\alpha +r_2=A$

$r_2=A-\alpha ={60}^{\circ }-{\mathrm{27,48}}^{\circ }={\mathrm{32,52}}^{\circ }$

Aplicamos de nuevo la ley de Snell en la cara derecha (paso prisma $\to$ aire), donde $\beta$ es el ángulo de emergencia:

$n\mathrm{sen}{r}_2=n_{\text{aire}}\mathrm{sen}\beta$

Sustituyendo los valores:

$\mathrm{sen}\beta =n\mathrm{sen}{r}_2=\mathrm{1,66}\cdot \mathrm{sen}{\mathrm{32,52}}^{\circ }=\mathrm{1,66}\cdot \mathrm{0,5376}=\mathrm{0,8924}$

$\beta =\mathrm{arcsen}(\mathrm{0,8924})={\mathrm{63,17}}^{\circ }$

$\boxed{{\displaystyle \beta \approx {\mathrm{63,2}}^{\circ }}}$

Como $\mathrm{sen}\beta <1$, el rayo emerge efectivamente por la cara derecha, desviándose hacia la base del prisma.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{incidir}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{emerja}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{prisma.}}$

El rayo no saldrá del prisma cuando, al llegar a la cara derecha, sufra reflexión total interna. Esto ocurre cuando el ángulo de incidencia interno $r_2$ es mayor o igual que el ángulo crítico ${\theta }_c$ del material.

Calculamos primero el ángulo crítico, que corresponde a un ángulo de refracción de ${90}^{\circ }$ en el paso prisma $\to$ aire:

$n\mathrm{sen}{\theta }_c=n_{\text{aire}}\mathrm{sen}{90}^{\circ }$

$\mathrm{sen}{\theta }_c={\displaystyle \frac{n_{\text{aire}}}{n}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,66}}}=\mathrm{0,6024}$

${\theta }_c=\mathrm{arcsen}(\mathrm{0,6024})={\mathrm{37,04}}^{\circ }$

El caso límite es aquel en que el rayo llega a la cara de salida justo con el ángulo crítico, es decir $r_2={\theta }_c$. Usando la relación geométrica del prisma, el ángulo refractado en la cara de entrada debe valer:

$r_1=A-r_2=A-{\theta }_c={60}^{\circ }-{\mathrm{37,04}}^{\circ }={\mathrm{22,96}}^{\circ }$

Finalmente, aplicamos la ley de Snell en la cara izquierda para hallar el ángulo de incidencia $i_L$ desde el aire que produce ese rayo refractado:

$n_{\text{aire}}\mathrm{sen}{i}_L=n\mathrm{sen}{r}_1$

Sustituyendo los valores:

$\mathrm{sen}{i}_L=n\mathrm{sen}{r}_1=\mathrm{1,66}\cdot \mathrm{sen}{\mathrm{22,96}}^{\circ }=\mathrm{1,66}\cdot \mathrm{0,3901}=\mathrm{0,6475}$

$i_L=\mathrm{arcsen}(\mathrm{0,6475})={\mathrm{40,35}}^{\circ }$

$\boxed{{\displaystyle i_L\approx {\mathrm{40,4}}^{\circ }}}$

Por tanto, para ángulos de incidencia desde el aire menores que ${\mathrm{40,4}}^{\circ }$ el ángulo de llegada a la cara derecha supera el crítico ($r_2>{\theta }_c$) y el rayo no emerge: se produce reflexión total interna. Esto es coherente con el apartado a), donde con una incidencia de ${50}^{\circ }$ (mayor que el ángulo límite) se obtuvo $r_2={\mathrm{32,52}}^{\circ }<{\theta }_c$ y el rayo sí emergía.