Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2024

Dos cristales de grosor $10\mathrm{c}\mathrm{m}$ e índices de refracción $n_1=\mathrm{1,40}$ y $n_2=\mathrm{1,50}$, están separados por una capa de aire de espesor desconocido, $e$. Un rayo de luz incide por el punto $A$ desde el cristal 1 hacia el cristal 2 atravesando la capa de aire que los separa con un ángulo de incidencia de ${30}^{\circ }$ y saliendo por el punto $B$ tal y como se indica en la figura. Si la distancia horizontal entre los puntos $A$ y $B$ es $d=\mathrm{9,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$, determine:



a) El espesor, $e$, de la capa de aire situada entre ambos cristales.

b) El tiempo que tarda el rayo de luz en recorrer la distancia entre los puntos $A$ y $B$.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$; Índice de refracción del aire, $n=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{espesor,}}\mathit{e}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{capa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{cristales.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Se aplica la ley de Snell en las dos superficies que atraviesa el rayo. En el paso del cristal 1 al aire:

$n_1\text{sen}{30}^{\circ }=1\cdot \text{sen}\theta$

$\theta =\text{arcsen}(\mathrm{1,40}\cdot \mathrm{0,5})={\mathrm{44,43}}^{\circ }$





Y en el paso del aire al cristal 2:

$1\cdot \text{sen}\theta =n_2\text{sen}{\theta }^{\mathrm{\prime }}\Rightarrow {\theta }^{\mathrm{\prime }}=\text{arcsen}\left({\displaystyle \frac{\text{sen}{\mathrm{44,43}}^{\circ }}{\mathrm{1,50}}}\right)={\mathrm{27,82}}^{\circ }$

El desplazamiento horizontal dentro del cristal 2, cuyo grosor es $10\text{ cm}$, vale:

$d_2=10\tan {\theta }^{\mathrm{\prime }}=10\tan {\mathrm{27,82}}^{\circ }=\mathrm{5,28}\text{ cm}$

Luego el desplazamiento horizontal en la capa de aire es el resto de la distancia $d$:

$d_{\text{aire}}=\mathrm{9,2}-\mathrm{5,28}=\mathrm{3,92}\text{ cm}$

$e={\displaystyle \frac{d_{\text{aire}}}{\tan \theta }}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,92}}{\tan {\mathrm{44,43}}^{\circ }}}=\mathrm{4,0}\text{ cm}$

El espesor de la capa de aire es $\mathrm{4,0}\text{ cm}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{recorrer}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El rayo recorre dos tramos: la capa de aire y el cristal 2. Sus longitudes salen de los ángulos ya conocidos:

$s_1={\displaystyle \frac{e}{\cos \theta }}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,0}}{\cos {\mathrm{44,43}}^{\circ }}}=\mathrm{5,60}\text{ cm}$

$s_2={\displaystyle \frac{10}{\cos {\theta }^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{10}{\cos {\mathrm{27,82}}^{\circ }}}=\mathrm{11,31}\text{ cm}$

En el aire la luz viaja a $c$, y en el cristal 2 a $v_2=c\mathrm{/}{n}_2$:

$t_1={\displaystyle \frac{s_1}{c}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,60}\cdot {10}^{-2}}{3\cdot {10}^8}}=\mathrm{1,87}\cdot {10}^{-10}\text{ s}$

$t_2={\displaystyle \frac{s_2{n}_2}{c}}={\displaystyle \frac{\mathrm{11,31}\cdot {10}^{-2}\cdot \mathrm{1,50}}{3\cdot {10}^8}}=\mathrm{5,65}\cdot {10}^{-10}\text{ s}$

$t=t_1+t_2=\mathrm{7,52}\cdot {10}^{-10}\text{ s}$

El rayo tarda $\mathrm{7,52}\cdot {10}^{-10}\text{ s}$ en ir de $A$ a $B$: la mayor parte del tiempo la emplea dentro del cristal, donde la luz se propaga más despacio.