Ejercicio resuelto de Óptica · Física · 2023

Un objeto de $2\mathrm{c}\mathrm{m}$ de altura se sitúa a $18\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la izquierda de una pantalla. Entre la pantalla y el objeto, a $\mathrm{14,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$ de este, se sitúa una lente convergente.
a) Determine la distancia focal que debe tener la lente para que se enfoque la imagen del objeto sobre la pantalla y el tamaño de la imagen.
b) A continuación, se retira la pantalla y se sitúa a $5\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la derecha de la primera lente otra lente convergente de distancia focal $\mathrm{1,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$. ¿Dónde se formará la nueva imagen? Realice el correspondiente trazado de rayos.

$\mathbf{\text{A.4}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos).}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}2\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}18\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{izquierda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{pantalla.}}\mathbf{\text{Entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto,}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{14,2}\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{convergente.}}$

Adoptamos el criterio de signos habitual (DIN): la luz viaja de izquierda a derecha, las distancias se miden desde el centro óptico de la lente y se toman positivas hacia la derecha. Así, las distancias objeto $s$ resultan negativas (el objeto está a la izquierda) y las distancias imagen $s^{\mathrm{\prime }}$ positivas cuando la imagen es real (a la derecha).

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{enfoque}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}$

Situamos el origen en la lente. El objeto está a $\mathrm{14,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$ a su izquierda, de modo que

$s=-\mathrm{14,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$

La pantalla está a $18\mathrm{c}\mathrm{m}$ del objeto, y la lente a $\mathrm{14,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$ de este; por tanto la pantalla queda a la derecha de la lente, a una distancia

$s^{\mathrm{\prime }}=18\mathrm{c}\mathrm{m}-\mathrm{14,2}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{3,8}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Para que la imagen quede enfocada sobre la pantalla, la lente debe formar ahí la imagen real. Aplicamos la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

Despejando la distancia focal imagen y sustituyendo los valores:

${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3,8}\mathrm{c}\mathrm{m}}}-{\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{14,2}\mathrm{c}\mathrm{m}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3,8}\mathrm{c}\mathrm{m}}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{14,2}\mathrm{c}\mathrm{m}}}=\mathrm{0,3336}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$

$f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,3336}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}}}=\mathrm{3,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$

El valor es positivo, coherente con una lente convergente.

$\boxed{{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}\approx \mathrm{3,0}\mathrm{c}\mathrm{m}}}$

Para el tamaño de la imagen empleamos el aumento lateral:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$

Sustituyendo:

$\beta ={\displaystyle \frac{\mathrm{3,8}\mathrm{c}\mathrm{m}}{-\mathrm{14,2}\mathrm{c}\mathrm{m}}}=-\mathrm{0,268}$

Despejamos el tamaño de la imagen, con $y=2\mathrm{c}\mathrm{m}$:

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=-\mathrm{0,268}\cdot 2\mathrm{c}\mathrm{m}=-\mathrm{0,54}\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\boxed{{\displaystyle y^{\mathrm{\prime }}\approx -\mathrm{0,54}\mathrm{c}\mathrm{m}}}$

El signo negativo indica que la imagen es invertida respecto del objeto; además es real (se recoge en pantalla) y de menor tamaño que el objeto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{continuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{retira}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{a}}5\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathrm{1,2}\mathrm{c}\mathrm{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿D}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nde}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{formar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{imagen?}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos.}}$

Resolvemos un sistema de dos lentes: la imagen formada por la primera lente actúa como objeto de la segunda.

La primera lente sigue formando su imagen $I_1$ a $\mathrm{3,8}\mathrm{c}\mathrm{m}$ a su derecha (resultado del apartado a). La segunda lente $L_2$ está a $5\mathrm{c}\mathrm{m}$ a la derecha de $L_1$. Como $\mathrm{3,8}\mathrm{c}\mathrm{m}<5\mathrm{c}\mathrm{m}$, la imagen $I_1$ se forma antes de $L_2$ y constituye un objeto real para esta, situado a su izquierda a una distancia

$5\mathrm{c}\mathrm{m}-\mathrm{3,8}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{1,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Tomando ahora el origen en la segunda lente, la distancia objeto es:

$s_2=-\mathrm{1,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Observamos que coincide en valor absoluto con la focal de la lente, $f_2^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$: el objeto está exactamente en el foco objeto de $L_2$.

Aplicamos de nuevo la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s_2^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s_2}}={\displaystyle \frac{1}{f_2^{\mathrm{\prime }}}}$

${\displaystyle \frac{1}{s_2^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f_2^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s_2}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,2}\mathrm{c}\mathrm{m}}}+{\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{1,2}\mathrm{c}\mathrm{m}}}=0$

Por tanto:

$s_2^{\mathrm{\prime }}\to \mathrm{\infty }$

$\boxed{{\displaystyle s_2^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\infty }\text{(la imagen final se forma en el infinito)}}}$

Como el objeto de la segunda lente está situado justo en su foco objeto, los rayos emergen paralelos entre sí y la imagen se forma en el infinito (un observador la vería sin acomodación, como ocurre con el ocular de un anteojo). El trazado de rayos, con la imagen intermedia $I_1$ coincidiendo con el foco $F_2$ de la segunda lente y los rayos saliendo paralelos, se muestra en la figura: