Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

En su aproximación al planeta Fomalhault II, el astronauta Rocannon avista Fomalhalhutilo, satélite natural de Fomalhault II, según un ángulo $\alpha ={\mathrm{53,13}}^{\circ }$ con respecto de la radial hacia el planeta (eje y). La fuerza total que estos dos cuerpos ejercen sobre Rocannon y su nave, cuya masa conjunta asciende a $8000\mathrm{k}\mathrm{g}$, vale en ese momento $\vec{F}=(\mathrm{9,5}\widehat{i}-\mathrm{66,4}\widehat{j})\mathrm{N}$.



a) ¿A qué distancia $R^{\mathrm{\prime }}$ se encuentra Rocannon del satélite?

b) ¿A qué distancia R se encuentra Rocannon del planeta?

Datos: Masa del planeta, $M=4\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Masa del satélite, $M^{\mathrm{\prime }}=2\cdot {10}^{20}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$.

Planteamiento. Sobre la nave actúan dos fuerzas gravitatorias atractivas, una hacia el planeta y otra hacia el satélite. Según el dato, el planeta está sobre el eje $y$ (la dirección radial), de modo que la fuerza que ejerce el planeta es puramente vertical y apunta hacia $-y$ (atracción hacia el planeta). El satélite se ve formando un ángulo $\alpha ={\mathrm{53,13}}^{\circ }$ con esa radial; por tanto la fuerza que ejerce el satélite, también atractiva, tiene una componente horizontal $\widehat{i}$ (positiva, hacia el satélite) y una componente vertical.

Recordemos los valores trigonométricos de este ángulo, muy habituales en estos problemas:

$\mathrm{sen}{\mathrm{53,13}}^{\circ }=\mathrm{0,80}\cos {\mathrm{53,13}}^{\circ }=\mathrm{0,60}$

Llamamos $F^{\mathrm{\prime }}$ al módulo de la fuerza del satélite y $F$ al módulo de la fuerza del planeta. Descomponiendo en ejes (el planeta solo contribuye a $-y$):

$F_x=F^{\mathrm{\prime }}\mathrm{sen}\alpha$

$F_y=-(F+F^{\mathrm{\prime }}\cos \alpha )$

Igualando a las componentes del dato, $\vec{F}=(\mathrm{9,5}\widehat{i}-\mathrm{66,4}\widehat{j})\mathrm{N}$, obtenemos el sistema que resolveremos en los dos apartados.



La componente horizontal de la fuerza total se debe únicamente al satélite, ya que el planeta tira en la dirección radial $-y$. Aplicamos la ley de Gravitación Universal para el módulo de la fuerza del satélite:

$F^{\mathrm{\prime }}=G{\displaystyle \frac{M^{\mathrm{\prime }}m}{R^{\mathrm{\prime }2}}}$

Su componente horizontal es $F_x=F^{\mathrm{\prime }}\mathrm{sen}\alpha$, que debe coincidir con $\mathrm{9,5}\mathrm{N}$:

$G{\displaystyle \frac{M^{\mathrm{\prime }}m}{R^{\mathrm{\prime }2}}}\mathrm{sen}\alpha =\mathrm{9,5}\mathrm{N}$

Despejando la distancia $R^{\mathrm{\prime }}$:

$R^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}^{\mathrm{\prime }}m\mathrm{sen}\alpha }{\mathrm{9,5}}}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$R^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot 2\cdot {10}^{20}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 8000\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{0,80}}{\mathrm{9,5}\mathrm{N}}}}$

$R^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{\mathrm{8,99}\cdot {10}^{12}{\mathrm{m}}^2}$

Por tanto, la distancia de Rocannon al satélite es:

$\boxed{{\displaystyle R^{\mathrm{\prime }}\approx \mathrm{3,0}\cdot {10}^6\mathrm{m}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathit{R}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{Rocannon}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Ahora usamos la componente vertical. La fuerza del satélite también contribuye en $y$, así que primero calculamos su módulo a partir del apartado anterior:

$F^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{F_x}{\mathrm{sen}\alpha }}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,5}\mathrm{N}}{\mathrm{0,80}}}=\mathrm{11,875}\mathrm{N}$

La componente vertical (en módulo) de la fuerza del satélite es:

$F^{\mathrm{\prime }}\cos \alpha =\mathrm{11,875}\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{7,125}\mathrm{N}$

La componente vertical total mide $\mathrm{66,4}\mathrm{N}$ (en sentido $-y$) y es la suma de la del planeta más la del satélite. Despejamos la del planeta:

$F=\mathrm{66,4}\mathrm{N}-F^{\mathrm{\prime }}\cos \alpha =\mathrm{66,4}\mathrm{N}-\mathrm{7,125}\mathrm{N}=\mathrm{59,275}\mathrm{N}$

Esta es la fuerza gravitatoria que el planeta ejerce sobre la nave. Aplicando de nuevo la ley de Gravitación Universal:

$F=G{\displaystyle \frac{Mm}{R^2}}$

Despejando la distancia $R$:

$R=\sqrt{{\displaystyle \frac{GMm}{F}}}$

Sustituyendo los valores con sus unidades:

$R=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}\cdot 4\cdot {10}^{23}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot 8000\mathrm{k}\mathrm{g}}{\mathrm{59,275}\mathrm{N}}}}$

$R=\sqrt{\mathrm{3,60}\cdot {10}^{15}{\mathrm{m}}^2}$

Por tanto, la distancia de Rocannon al planeta es:

$\boxed{{\displaystyle R\approx \mathrm{6,0}\cdot {10}^7\mathrm{m}}}$

Como comprobación de coherencia, la fuerza del planeta ($\approx \mathrm{59,3}\mathrm{N}$) es varias veces mayor que la del satélite ($\approx \mathrm{11,9}\mathrm{N}$), lo que es consistente con que su masa supera en más de mil veces a la del satélite aunque se encuentre unas veinte veces más lejos.