Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Un satélite de comunicaciones orbita alrededor de la Tierra en una trayectoria elíptica cuyo apogeo se encuentra a $39700\mathrm{k}\mathrm{m}$ de altitud sobre la superficie de la Tierra. Si el satélite da una vuelta completa cada $12\mathrm{h}$, determine:

a) La altura sobre la superficie terrestre a la que se encontrará el satélite en el perigeo de su trayectoria y la relación entre sus velocidades en el perigeo y en el apogeo ($v_p\mathrm{/}{v}_a$).

b) La velocidad del satélite en el perigeo y la velocidad hasta la que habría que reducir al satélite para que pasase de una órbita elíptica a una órbita circular de radio igual a la distancia al perigeo.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; Masa de la Tierra, $M_T=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Radio de la Tierra, $R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}$.

La tercera ley de Kepler da el semieje mayor de la elipse a partir del periodo:

$T^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{G{M}_T}}{a}^3\Rightarrow a=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{G{M}_T{T}^2}{4{\pi }^2}}}$





$a=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot (12\cdot 3600{)}^2}{4{\pi }^2}}}=\mathrm{2,66}\cdot {10}^7\text{ m}$

El apogeo y el perigeo son los extremos del eje mayor, de modo que su semisuma es el semieje:

$r_a=R_T+h_a=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+\mathrm{3,97}\cdot {10}^7=\mathrm{4,61}\cdot {10}^7\text{ m}$

$r_p=2a-r_a=2\cdot \mathrm{2,66}\cdot {10}^7-\mathrm{4,61}\cdot {10}^7=\mathrm{7,13}\cdot {10}^6\text{ m}$

$h_p=r_p-R_T=\mathrm{7,13}\cdot {10}^6-\mathrm{6,37}\cdot {10}^6=\mathrm{7,6}\cdot {10}^5\text{ m}$

La fuerza gravitatoria es central, así que el momento angular se conserva. En el apogeo y en el perigeo la velocidad es perpendicular al radio vector:

$m{r}_a{v}_a=m{r}_p{v}_p\Rightarrow {\displaystyle \frac{v_p}{v_a}}={\displaystyle \frac{r_a}{r_p}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,61}\cdot {10}^7}{\mathrm{7,13}\cdot {10}^6}}=\mathrm{6,46}$

El satélite pasa por el perigeo a $760\text{ km}$ de altura y allí su velocidad es $\mathrm{6,46}$ veces la del apogeo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{perigeo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{reducir}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasase}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ptica}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{perigeo.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El campo gravitatorio es conservativo, de modo que la energía mecánica es la misma en los dos ápsides:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_p^2-{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r_p}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_a^2-{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r_a}}$

Se sustituye $v_a=v_p\mathrm{/}\mathrm{6,46}$ y se despeja:

$v_p=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T({\displaystyle \frac{1}{r_p}}-{\displaystyle \frac{1}{r_a}})}{1-{\left({\displaystyle \frac{r_p}{r_a}}\right)}^2}}}=\mathrm{9,83}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, y su velocidad a esa misma distancia es:

$v_c=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r_p}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{7,13}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{7,47}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El satélite pasa por el perigeo a $\mathrm{9,83}\text{ km/s}$, y habría que frenarlo hasta $\mathrm{7,47}\text{ km/s}$ para que la órbita se hiciera circular.