Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

La distancia del satélite Halímeda a Neptuno, planeta alrededor del cual orbita, varía entre 12 y 21 millones de km.

a) Calcule el trabajo realizado por la atracción gravitatoria de Neptuno sobre Halímeda en el tránsito del punto más próximo al más distante de la órbita.
b) Sabiendo que la energía mecánica de Halímeda vale $-\mathrm{2,5}\cdot {10}^{20}\mathrm{J}$, determine la velocidad máxima que alcanza en su órbita.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; Masa de Halímeda, $M_H=\mathrm{1,60}\cdot {10}^{19}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Masa de Neptuno, $M_N=\mathrm{1,02}\cdot {10}^{26}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{atracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Neptuno}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{Hal}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{meda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nsito}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{distante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










El campo gravitatorio es conservativo, de modo que el trabajo que realiza es la disminución de la energía potencial entre las dos posiciones:

$W=E_p(r_{\min })-E_p(r_{\max })=-{\displaystyle \frac{G{M}_N{M}_H}{r_{\min }}}+{\displaystyle \frac{G{M}_N{M}_H}{r_{\max }}}$





Se expresan las distancias en unidades del sistema internacional:

$r_{\min }=12\cdot {10}^6\text{ km}=\mathrm{1,2}\cdot {10}^{10}\text{ m}{r}_{\max }=\mathrm{2,1}\cdot {10}^{10}\text{ m}$

$W=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,02}\cdot {10}^{26}\cdot \mathrm{1,60}\cdot {10}^{19}({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,1}\cdot {10}^{10}}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,2}\cdot {10}^{10}}})$

$W=-\mathrm{3,89}\cdot {10}^{24}\text{ J}$

El trabajo es $-\mathrm{3,89}\cdot {10}^{24}\text{ J}$. Sale negativo porque el satélite se aleja del planeta: la fuerza gravitatoria y el desplazamiento tienen sentidos opuestos.



La energía mecánica se conserva a lo largo de la órbita, así que la velocidad es máxima donde la energía potencial es mínima, es decir, en el punto más próximo a Neptuno:

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}{M}_H{v}_{\max }^{}-{\displaystyle \frac{G{M}_N{M}_H}{r_{\min }}}$

Se despeja la velocidad:

$v_{\max }=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{M_H}}(E+{\displaystyle \frac{G{M}_N{M}_H}{r_{\min }}})}$

$v_{\max }=\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{1,60}\cdot {10}^{19}}}(-\mathrm{2,5}\cdot {10}^{20}+\mathrm{9,07}\cdot {10}^{24})}$

$v_{\max }=\mathrm{1,06}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad máxima de Halímeda es $\mathrm{1,06}\cdot {10}^3\text{ m/s}$, y la alcanza al pasar por el punto de su órbita más próximo a Neptuno.