Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

PROBLEMA 1 - Interacción gravitatoria

Syncom 3 fue un satélite de telecomunicaciones de masa 40 kg, que describía órbitas circulares a una altura de 35800 km sobre la superficie terrestre.

a) Deduce la expresión de la velocidad orbital de un satélite y calcula el valor en este caso, así como el periodo de la órbita (en horas). (1 punto)
b) Calcula las energías potencial y cinética del satélite en su movimiento por dicha órbita. Calcula la energía que se debe aportar al satélite para que se sitúe en una órbita en la que su energía mecánica sea $E=-9,5\cdot {10}^7\mathrm{J}$. (1 punto)

Datos: constante de gravitación universal, $G=6,67\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{k}\mathrm{g}}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T=6\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}$; radio de la Tierra, $R_T=6,4\cdot {10}^6\mathrm{m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Deducir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{horas).}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










La fuerza gravitatoria es la única que actúa sobre el satélite y por tanto:

$F=m\cdot a_N$

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}$

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$





Teniendo en cuenta que $r=R_T+h=6,4\cdot {10}^6+3,58\cdot {10}^7=4,22\cdot {10}^7\text{ m}$, solo hace falta sustituir los valores en la ecuación:

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{6,67\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{4,22\cdot {10}^7}}=3079,51\text{ m/s}$

Para el periodo, podemos utilizar:

$v=\omega \cdot r$

$v=\frac{2\pi }{T}\cdot r$

$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \cdot 4,22\cdot {10}^7}{3079,{51}^2}=86101,5\text{ s}\cdot \frac{1\text{ h}}{3600\text{ s}}=23,92\text{ h}$



Las energías cinética y potencial en esta órbita:

$E_c=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 3079,{51}^2=1,897\cdot {10}^8\text{ J}$

$E_p=-\frac{GMm}{r}=-\frac{6,67\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 40}{4,22\cdot {10}^7}=-3,794\cdot {10}^8\text{ J}$

Con lo que, en la órbita actual, tiene una energía mecánica de:

$E_1=E_c+E_p=-1,897\cdot {10}^8\text{ J}$

Si queremos que pase a otra órbita de energía mecánica $E_2=-9,5\cdot {10}^{7}J$, tendremos que aportar:

$\mathrm{\Delta }E=E_2-E_1=-9,5\cdot {10}^7+1,897\cdot {10}^8=9,47\cdot {10}^7\text{ J}$