Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Un satélite de 200 kg de masa se mueve en una órbita cerrada alrededor de la Tierra. En un determinado instante, es detectado a 630 km de altura, moviéndose a $\mathrm{9,92}\mathrm{k}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ con velocidad perpendicular a la dirección radial.

a) Compare la velocidad del satélite con la correspondiente a una órbita circular de la altura dada y, del resultado anterior, razone si la órbita es circular o elíptica.
b) Calcule los módulos del momento angular y de la aceleración del satélite en el instante señalado.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; Masa de la Tierra, $M_T=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Radio de la Tierra, $R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\mathrm{m}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Compare}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{dada}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{razone}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ptica.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










El radio de la posición detectada es:

$r=R_T+h=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+\mathrm{6,3}\cdot {10}^5=\mathrm{7,0}\cdot {10}^6\text{ m}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:

${\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow v_c=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$





$v_c=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{7,0}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{7,54}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad de escape desde esa misma altura es $\sqrt{2}$ veces mayor:

$v_e=\sqrt{2}{v}_c=\mathrm{1,07}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

La velocidad del satélite, $\mathrm{9,92}\text{ km/s}$, es mayor que la circular pero menor que la de escape. La órbita, por tanto, no es circular sino elíptica y además cerrada; como además la velocidad es perpendicular al radio vector, el punto detectado es uno de los ápsides, en concreto el perigeo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{se}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{alado.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Al ser la velocidad perpendicular al radio vector, el módulo del momento angular es el simple producto:

$L=mvr=200\cdot \mathrm{9,92}\cdot {10}^3\cdot \mathrm{7,0}\cdot {10}^6$

$L=\mathrm{1,39}\cdot {10}^{13}{\text{kg m}}^2\text{/s}$

La única fuerza que actúa es la gravitatoria, así que la aceleración es la intensidad del campo gravitatorio a esa distancia:

$a={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{7,0}\cdot {10}^6{)}^2}}$

$a=\mathrm{8,13}{\text{m/s}}^2$

El momento angular vale $\mathrm{1,39}\cdot {10}^{13}{\text{kg m}}^2\text{/s}$ y la aceleración, $\mathrm{8,13}{\text{m/s}}^2$, dirigida hacia el centro de la Tierra.