Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Dos planetas de masas iguales orbitan en torno a una estrella de masa mucho mayor. El primero de los planetas tiene una órbita circular de radio $\mathrm{1,2}\cdot {10}^{11}\mathrm{m}$ y un periodo de 3 años. El segundo planeta sigue una órbita elíptica tal que la distancia más próxima a la estrella es de $\mathrm{1,0}\cdot {10}^{11}\mathrm{m}$ y la más lejana de $\mathrm{1,8}\cdot {10}^{11}\mathrm{m}$.

a) Determine la masa de la estrella y el período del segundo planeta.

b) Calcule la velocidad orbital del primer planeta y, sabiendo que su energía mecánica en su órbita circular es $-\mathrm{3,9}\cdot {10}^{31}\mathrm{J}$, halle la masa de los planetas.

Dato: Constante de Gravitación Universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estrella}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Para el planeta 1, que describe una órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta y se llega a la tercera ley de Kepler:

${\displaystyle \frac{G{M}_E{M}_1}{r_1^2}}=M_1{\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}_1}{T_1^2}}\Rightarrow M_E={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}_1^3}{G{T}_1^2}}$





Se expresa el periodo en segundos:

$T_1=3\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}\cdot \mathrm{3,16}\cdot {10}^7{\displaystyle \frac{\text{s}}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{o}}}=\mathrm{9,47}\cdot {10}^7\text{ s}$

$M_E={\displaystyle \frac{4{\pi }^2(\mathrm{1,2}\cdot {10}^{11}{)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot (\mathrm{9,47}\cdot {10}^7{)}^2}}=\mathrm{1,14}\cdot {10}^{29}\text{ kg}$

Para el planeta 2, que describe una elipse, la tercera ley de Kepler se aplica con el semieje mayor, que es la semisuma de las distancias extremas:

$a={\displaystyle \frac{\mathrm{1,0}\cdot {10}^{11}+\mathrm{1,8}\cdot {10}^{11}}{2}}=\mathrm{1,4}\cdot {10}^{11}\text{ m}$

$T_2=\sqrt{{\displaystyle \frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{M}_E}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{4{\pi }^2(\mathrm{1,4}\cdot {10}^{11}{)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,14}\cdot {10}^{29}}}}=\mathrm{1,19}\cdot {10}^8\text{ s}$

La masa de la estrella es $\mathrm{1,14}\cdot {10}^{29}\text{ kg}$ y el periodo del segundo planeta, $\mathrm{1,19}\cdot {10}^8\text{ s}$, es decir, $\mathrm{3,78}$ años.



En una órbita circular la velocidad se obtiene directamente del radio y el periodo:

$v_1={\displaystyle \frac{2\pi r_1}{T_1}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{1,2}\cdot {10}^{11}}{\mathrm{9,47}\cdot {10}^7}}=\mathrm{7,97}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

De la ecuación de la órbita circular se deduce que la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial, de modo que la energía mecánica queda:

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}{M}_1{v}_1^2-{\displaystyle \frac{G{M}_E{M}_1}{r_1}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_E{M}_1}{2r_1}}$

Se despeja la masa del planeta:

$M_1=-{\displaystyle \frac{2r_{1}E}{G{M}_E}}={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,2}\cdot {10}^{11}\cdot \mathrm{3,9}\cdot {10}^{31}}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,14}\cdot {10}^{29}}}$

$M_1=\mathrm{1,23}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$

El primer planeta orbita a $\mathrm{7,97}\text{ km/s}$ y la masa de cada planeta es $\mathrm{1,23}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$, ya que el enunciado dice que ambas son iguales.