Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

PREGUNTA 5. Resuelva este problema:
Un meteorito de 150 kg de masa se acerca a la Tierra y alcanza una velocidad de 30 $\mathrm{k}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ cuando está a una altura sobre la superficie de la Tierra igual a 6 veces el radio de ésta. Calcule:

a) su peso a esa altura;
b) su energía mecánica a esa altura.

DATOS: $G=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; $M_T=\mathrm{5,98}\times {10}^{24}$ kg; $R_T=\mathrm{6,37}\times {10}^6$ m.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{altura;}}$

La altura se mide desde la superficie, así que la distancia al centro de la Tierra es:

$r=R_T+h=R_T+6R_T=7R_T$

$r=7\cdot \mathrm{6,37}\cdot {10}^6=\mathrm{4,459}\cdot {10}^7\text{ m}$

El peso es el módulo de la fuerza gravitatoria con la que la Tierra atrae al meteorito, dada por la ley de la gravitación universal de Newton:

$P=G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}$

$P=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 150}{(\mathrm{4,459}\cdot {10}^7{)}^2}}$

$P=\mathrm{30,1}\text{ N}$

El peso del meteorito a esa altura es de $\mathrm{30,1}\text{ N}$. El resultado es coherente: la gravedad allí vale

$g={\displaystyle \frac{P}{m}}={\displaystyle \frac{\mathrm{30,1}}{150}}=\mathrm{0,201}{\text{m/s}}^2$

es decir, $1\mathrm{/}49$ de la gravedad en la superficie, como debe ser al estar a siete radios terrestres del centro.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{altura.}}$

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y de la energía potencial gravitatoria, esta última con el origen de potenciales en el infinito:

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}$

Expresamos la velocidad en unidades del SI:

$v=30\text{ km/s}=\mathrm{3,0}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 150\cdot (\mathrm{3,0}\cdot {10}^4{)}^2=\mathrm{6,75}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

$E_p=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 150}{\mathrm{4,459}\cdot {10}^7}}=-\mathrm{1,34}\cdot {10}^9\text{ J}$

$E_m=\mathrm{6,75}\cdot {10}^{10}-\mathrm{1,34}\cdot {10}^9$

$E_m=\mathrm{6,62}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

La energía mecánica del meteorito a esa altura es $\mathrm{6,62}\cdot {10}^{10}\text{ J}$. Que sea positiva es lo más interesante del resultado: el meteorito no está ligado al campo gravitatorio terrestre, su trayectoria es abierta —hiperbólica— y, si no choca con la Tierra, pasará de largo y se alejará indefinidamente. De hecho su energía cinética es unas cincuenta veces mayor que el valor absoluto de la potencial.