Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

PREGUNTA 5. Resuelva este problema:
El período de Júpiter en su órbita alrededor del Sol es aproximadamente 12 veces mayor que el de la Tierra en su correspondiente órbita. Considerando circulares las órbitas de los dos planetas, determine:

a) la relación entre los radios de dichas órbitas;
b) la relación entre las aceleraciones de los dos planetas en sus respectivas órbitas.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{radios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dichas}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbitas;}}$

Para un planeta en órbita circular alrededor del Sol la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta. Escribiendo la velocidad en función del período, $v=2\pi r\mathrm{/}T$:

$G{\displaystyle \frac{M_{S}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m}{r}}{\left({\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\right)}^2$

La masa del planeta se simplifica y queda la tercera ley de Kepler:

$T^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{G{M}_S}}{r}^3$

El factor que multiplica a $r^3$ es el mismo para todos los planetas del sistema solar, así que:

${\displaystyle \frac{T_J^2}{T_T^2}}={\displaystyle \frac{r_J^3}{r_T^3}}$

Despejamos la relación de radios e imponemos el dato del enunciado, $T_J=12T_T$:

${\displaystyle \frac{r_J}{r_T}}={\left({\displaystyle \frac{T_J}{T_T}}\right)}^{2\mathrm{/}3}={12}^{2\mathrm{/}3}$

${\displaystyle \frac{r_J}{r_T}}=\mathrm{5,24}$

El radio de la órbita de Júpiter es 5,24 veces el de la órbita terrestre. El valor real es 5,20 unidades astronómicas, de modo que la aproximación del enunciado es muy buena.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{aceleraciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{planetas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{respectivas}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbitas.}}$

La aceleración de cada planeta es la aceleración centrípeta, que coincide con la intensidad del campo gravitatorio solar a esa distancia:

$a={\displaystyle \frac{G{M}_S}{r^2}}$

Al hacer el cociente se simplifican $G$ y $M_S$:

${\displaystyle \frac{a_J}{a_T}}={\left({\displaystyle \frac{r_T}{r_J}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{1}{{12}^{2\mathrm{/}3}}}\right)}^2={12}^{-4\mathrm{/}3}$

${\displaystyle \frac{a_J}{a_T}}=\mathrm{3,64}\cdot {10}^{-2}$

La aceleración de Júpiter es $\mathrm{3,64}\cdot {10}^{-2}$ veces la de la Tierra, es decir, unas 27,5 veces menor:

${\displaystyle \frac{a_T}{a_J}}={12}^{4\mathrm{/}3}=\mathrm{27,5}$

El resultado es coherente con la ley de la gravitación: al estar Júpiter 5,24 veces más lejos del Sol, el campo gravitatorio que lo atrae es ${\mathrm{5,24}}^2=\mathrm{27,5}$ veces más débil.