Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

PREGUNTA 5. Resuelva este problema:
En 1969 la nave Apolo 11 orbitó alrededor de la Luna a una distancia media del centro de la Luna de 1850 km. Si la masa de la Luna es de $\mathrm{7,36}\times {10}^{22}$ kg y suponiendo que la órbita fue circular, calcule:

a) la velocidad orbital del Apolo 11;
b) el período con que la nave describe la órbita.

DATO: $G=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Apolo}}\mathbf{\text{11;}}$

El dato del enunciado ya es la distancia al centro de la Luna, así que no hay que sumarle nada. Lo expresamos en unidades del SI:

$r=1850\text{ km}=\mathrm{1,85}\cdot {10}^6\text{ m}$

En la órbita circular la única fuerza que actúa sobre la nave es la gravitatoria, que hace de fuerza centrípeta. Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{L}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

La masa de la nave se simplifica: la velocidad orbital no depende de ella.

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_L}{r}}}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,36}\cdot {10}^{22}}{\mathrm{1,85}\cdot {10}^6}}}$

$v=\mathrm{1,63}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad orbital del Apolo 11 era de $\mathrm{1,63}\text{ km/s}$, muy inferior a la de un satélite en órbita baja terrestre porque la Luna es mucho menos masiva.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$

En un movimiento circular uniforme el período es el tiempo que se tarda en recorrer la circunferencia completa:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\Rightarrow T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}$

$T={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{1,85}\cdot {10}^6}{\mathrm{1,63}\cdot {10}^3}}$

$T=\mathrm{7,14}\cdot {10}^3\text{ s}$

El período orbital es de $\mathrm{7,14}\cdot {10}^3\text{ s}$, es decir, unos 119 minutos: la nave daba una vuelta a la Luna cada dos horas aproximadamente, lo que concuerda con las doce órbitas que el módulo Columbia describió mientras el Eagle estaba en la superficie.

Se llega al mismo resultado con la tercera ley de Kepler:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{G{M}_L}}}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{(\mathrm{1,85}\cdot {10}^6{)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,36}\cdot {10}^{22}}}}=\mathrm{7,14}\cdot {10}^3\text{ s}$