Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

PREGUNTA 5. Resuelva este problema:
La masa del planeta Marte es 0,107 veces la masa de la Tierra y su radio es 0,533 veces el radio de la Tierra. Calcule:

a) el tiempo que tarda un objeto en llegar a la superficie de Marte si se deja caer desde una altura de 50 m;
b) la velocidad de escape de ese objeto desde la superficie del planeta.

DATOS: $g=\mathrm{9,81}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$; $R_T=\mathrm{6,37}\times {10}^6$ m.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{llegar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deja}}\mathbf{\text{caer}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{m;}}$

Primero necesitamos la gravedad en la superficie de Marte. La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta es:

$g={\displaystyle \frac{GM}{R^2}}$

Al hacer el cociente entre Marte y la Tierra se simplifica la constante $G$:

${\displaystyle \frac{g_M}{g_T}}={\displaystyle \frac{M_M}{M_T}}{\left({\displaystyle \frac{R_T}{R_M}}\right)}^2={\displaystyle \frac{\mathrm{0,107}}{{\mathrm{0,533}}^2}}$

$g_M=\mathrm{9,81}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,107}}{\mathrm{0,284}}}=\mathrm{3,69}{\text{m/s}}^2$

La altura de 50 m es muy pequeña frente al radio del planeta, así que podemos considerar la gravedad constante y tratar el movimiento como una caída libre desde el reposo:

$h={\displaystyle \frac{1}{2}}{g}_M{t}^2\Rightarrow t=\sqrt{{\displaystyle \frac{2h}{g_M}}}$

$t=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot 50}{\mathrm{3,69}}}}$

$t=\mathrm{5,20}\text{ s}$

El objeto tarda $\mathrm{5,20}\text{ s}$ en llegar a la superficie. En la Tierra tardaría $\mathrm{3,19}$ s desde la misma altura: en Marte la caída es más lenta porque la gravedad es unas 2,7 veces menor.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}$

La velocidad de escape se obtiene imponiendo que el objeto llegue al infinito con velocidad nula, es decir, que su energía mecánica sea cero:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-{\displaystyle \frac{G{M}_{M}m}{R_M}}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_M}{R_M}}}$

La masa del objeto se simplifica: la velocidad de escape no depende de ella. Como no conocemos $G{M}_M$ pero sí la gravedad superficial, usamos que $G{M}_M=g_M{R}_M^2$:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2g_M{R}_M}$

El radio de Marte es:

$R_M=\mathrm{0,533}{R}_T=\mathrm{0,533}\cdot \mathrm{6,37}\cdot {10}^6=\mathrm{3,40}\cdot {10}^6\text{ m}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2\cdot \mathrm{3,69}\cdot \mathrm{3,40}\cdot {10}^6}$

$v_{\text{esc}}=\mathrm{5,01}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad de escape desde la superficie de Marte es $\mathrm{5,01}\text{ km/s}$, menos de la mitad de la terrestre, que es de 11,2 km/s. Esa es una de las razones por las que Marte ha ido perdiendo su atmósfera.