Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

PREGUNTA 1. Responda indicando y justificando la opción correcta:

1.1. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. El trabajo que realiza la fuerza de la gravedad sobre el satélite a lo largo de media órbita es: a) positivo; b) negativo; c) nulo.
1.2. Un núcleo del isótopo ${}_2^4\mathrm{H}\mathrm{e}$ describe una trayectoria de radio $r$ en un campo magnético. Sin variar las condiciones del campo magnético ni de la dirección o velocidad de entrada, hacemos incidir un núcleo de ${}_2^3\mathrm{H}\mathrm{e}$ que describirá: a) una trayectoria de radio menor; b) una trayectoria de radio mayor; c) una trayectoria del mismo radio.

$\mathbf{\text{1.1.}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{artificial}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{media}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{es:}}$

La respuesta correcta es la c): nulo.

El trabajo elemental de una fuerza es:

$dW=\vec{F}\cdot d\vec{r}=Fdr\cos \alpha$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria apunta siempre hacia el centro y el desplazamiento es tangente a la circunferencia, de modo que forman en todo instante un ángulo de ${90}^{\circ }$:

$\cos {90}^{\circ }=0\Rightarrow dW=0$

El trabajo es nulo en cualquier tramo de la órbita, no solo en media vuelta.

Se llega a lo mismo por energías: el campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo es la variación de energía potencial cambiada de signo, y en una órbita circular la distancia al centro no cambia:

$W=-\mathrm{\Delta }{E}_p=-(-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}+{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}})=0$

$\mathbf{\text{1.2.}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{is}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{topo}}\mathrm{<mrow><msubsup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mn\; mathvariant="bold">4</mn></msubsup><mtext>He</mtext></mrow>}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio}}\mathit{r}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico.}}\mathbf{\text{Sin}}\mathbf{\text{variar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{condiciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entrada,}}\mathbf{\text{hacemos}}\mathbf{\text{incidir}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{cleo}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><msubsup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mn\; mathvariant="bold">3</mn></msubsup><mtext>He</mtext></mrow>}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{:}}$

La respuesta correcta es la a): una trayectoria de radio menor.

La fuerza magnética sobre la partícula hace de fuerza centrípeta, de donde sale el radio de la trayectoria:

$qvB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{mv}{qB}}$

Los dos isótopos del helio tienen el mismo número atómico, $Z=2$, así que su carga es la misma. Tampoco cambian la velocidad ni el campo. Lo único que cambia es la masa: el ${}_2^3\text{He}$ tiene un neutrón menos y por tanto una masa menor.

$r\propto m\Rightarrow {\displaystyle \frac{r_3}{r_4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

El radio de la trayectoria del ${}_2^3\text{He}$ es las tres cuartas partes del anterior: menor. Este es precisamente el principio del espectrómetro de masas, que separa isótopos por el radio de su trayectoria.