Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

PREGUNTA 5. Problema de interacción gravitatoria. (2 puntos)
El telescopio espacial Hubble (HST) orbita la Tierra de forma aproximadamente circular a una altura sobre la superficie terrestre de 520 km. Calcule:

a) el período orbital del HST;
b) el valor del potencial gravitacional terrestre en la órbita del HST.

DATOS: $R_T$ = 6370 km; $M_T=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}$ kg; $G=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{HST;}}$

El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra, así que hay que sumar el radio terrestre a la altura sobre la superficie. Expresamos todo en unidades del SI:

$r=R_T+h=\mathrm{6,370}\cdot {10}^6+\mathrm{5,20}\cdot {10}^5=\mathrm{6,89}\cdot {10}^6\text{ m}$

En la órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta. Escribiendo la velocidad en función del período, $v=2\pi r\mathrm{/}T$, se obtiene la tercera ley de Kepler:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m}{r}}{\left({\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\right)}^2\Rightarrow T^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{M}_T}}$

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{G{M}_T}}}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{(\mathrm{6,89}\cdot {10}^6{)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}}}$

$T=\mathrm{5,69}\cdot {10}^3\text{ s}$

El período orbital del telescopio Hubble es $\mathrm{5,69}\cdot {10}^3\text{ s}$, es decir, unos 95 minutos: da algo más de quince vueltas a la Tierra cada día.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitacional}}\mathbf{\text{terrestre}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{HST.}}$

El potencial gravitatorio creado por la Tierra a una distancia $r$ de su centro es la energía potencial por unidad de masa, tomando el origen de potenciales en el infinito:

$V=-{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}$

$V=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,89}\cdot {10}^6}}$

$V=-\mathrm{5,79}\cdot {10}^7\text{ J/kg}$

El potencial gravitatorio terrestre en la órbita del HST es $-\mathrm{5,79}\cdot {10}^7\text{ J/kg}$. Es negativo, como en todo punto del campo gravitatorio, porque el potencial crece con la distancia hasta anularse en el infinito.