Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

PREGUNTA 5. Problema de interacción gravitatoria. (2 puntos)
Una nave sitúa un objeto de 20 kg de masa entre la Tierra y el Sol en un punto donde la fuerza gravitatoria neta sobre el objeto es nula. Calcule en ese punto:

a) la distancia del objeto al centro de la Tierra;
b) la aceleración de la Tierra debida a la fuerza que el objeto ejerce sobre ella.

DATOS: $G=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; $M_T=\mathrm{5,98}\times {10}^{24}$ kg; $M_S=\mathrm{2,00}\times {10}^{30}$ kg; distancia Tierra-Sol = $\mathrm{1,50}\times {10}^{11}$ m.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra;}}$










Llamamos $d$ a la distancia del objeto al centro de la Tierra y $D=\mathrm{1,50}\cdot {10}^{11}\text{ m}$ a la distancia Tierra-Sol, de modo que la distancia al Sol es $D-d$.

Para que la fuerza gravitatoria neta sea nula, las dos atracciones deben tener el mismo módulo y sentidos opuestos, lo que solo ocurre en un punto del segmento que une los dos astros:

$F_T=F_S$

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{d^2}}=G{\displaystyle \frac{M_{S}m}{(D-d{)}^2}}$





La masa $m$ del objeto y la constante $G$ se simplifican, así que la posición del punto no depende de ellas:

${\displaystyle \frac{M_T}{d^2}}={\displaystyle \frac{M_S}{(D-d{)}^2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{D-d}{d}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{M_S}{M_T}}}$

$\sqrt{{\displaystyle \frac{M_S}{M_T}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{2,00}\cdot {10}^{30}}{\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}}}=578$

Despejamos $d$:

${\displaystyle \frac{D}{d}}-1=578\Rightarrow d={\displaystyle \frac{D}{579}}$

$d={\displaystyle \frac{\mathrm{1,50}\cdot {10}^{11}}{579}}=\mathrm{2,59}\cdot {10}^8\text{ m}$

El objeto está a $\mathrm{2,59}\cdot {10}^8\text{ m}$ del centro de la Tierra, es decir, a unos 259000 km, poco más de dos tercios de la distancia Tierra-Luna. Es una distancia muy pequeña comparada con la distancia al Sol, como corresponde a que la masa del Sol sea unas 334000 veces la de la Tierra.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{debida}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{ejerce}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{ella.}}$

Por el principio de acción y reacción, la fuerza con la que el objeto atrae a la Tierra tiene el mismo módulo que la que la Tierra ejerce sobre el objeto:

$F=G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{d^2}}$

$F=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 20}{(\mathrm{2,59}\cdot {10}^8{)}^2}}=\mathrm{0,119}\text{ N}$

Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton a la Tierra:

$a_T={\displaystyle \frac{F}{M_T}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,119}}{\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}}$

$a_T=\mathrm{1,99}\cdot {10}^{-26}{\text{m/s}}^2$

La aceleración que adquiere la Tierra es $\mathrm{1,99}\cdot {10}^{-26}{\text{m/s}}^2$, absolutamente inapreciable: las fuerzas de un par acción-reacción son iguales, pero las aceleraciones que producen están en razón inversa de las masas.