Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

PREGUNTA 4. Práctica de interacción gravitatoria. (2 puntos)

Satélites	Distancia media al centro de la Tierra/km	Período orbital medio/min DELTA 1-R/B	7595	158 O3B PFM	14429	288 GOES 2	36005	1449 NOAA	7258	102

a) A partir de los siguientes datos de satélites que orbitan alrededor de la Tierra determine el valor de la masa de la Tierra.
b) Si el valor indicado en los libros de texto para la masa de la Tierra es de $\mathrm{5,98}\times {10}^{24}$ kg, ¿qué incertidumbre relativa obtuvimos a partir del cálculo realizado?
DATO: $G=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{siguientes}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lites}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{orbitan}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}$

Para un satélite en órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta. Escribiendo la velocidad en función del período, $v=2\pi r\mathrm{/}T$:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m}{r}}{\left({\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\right)}^2$

$T^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{G{M}_T}}{r}^3$

que es la tercera ley de Kepler. De ella se despeja la masa del cuerpo central:

$M_T={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}$

Pasamos las distancias a metros y los períodos a segundos y aplicamos la expresión a cada satélite:

Satélite	$r\text{ (m)}$	$T\text{ (s)}$	$M_T\text{ (kg)}$ DELTA 1-R/B	$\mathrm{7,595}\cdot {10}^6$	$\mathrm{9,48}\cdot {10}^3$	$\mathrm{2,89}\cdot {10}^{24}$ O3B PFM	$\mathrm{1,4429}\cdot {10}^7$	$\mathrm{1,728}\cdot {10}^4$	$\mathrm{5,95}\cdot {10}^{24}$ GOES 2	$\mathrm{3,6005}\cdot {10}^7$	$\mathrm{8,694}\cdot {10}^4$	$\mathrm{3,66}\cdot {10}^{24}$ NOAA	$\mathrm{7,258}\cdot {10}^6$	$\mathrm{6,12}\cdot {10}^3$	$\mathrm{6,04}\cdot {10}^{24}$

Como ejemplo, el cálculo para el satélite NOAA:

$M_T={\displaystyle \frac{4{\pi }^2(\mathrm{7,258}\cdot {10}^6{)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot (\mathrm{6,12}\cdot {10}^3{)}^2}}=\mathrm{6,04}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$

El valor que se obtiene de la práctica es la media de los cuatro:

$\overline{M_T}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,89}+\mathrm{5,95}+\mathrm{3,66}+\mathrm{6,04}}{4}}\cdot {10}^{24}=\mathrm{4,63}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{indicado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{libros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{texto}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">5,98</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">24</mn></msup></mrow>}\mathbf{\text{kg,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{incertidumbre}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{obtuvimos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculo}}\mathbf{\text{realizado?}}$

La incertidumbre relativa es el cociente entre la desviación respecto del valor de referencia y ese valor de referencia:

${\epsilon }_r={\displaystyle \frac{\mid \overline{M_T}-M_T\mid }{M_T}}$

${\epsilon }_r={\displaystyle \frac{\mid \mathrm{4,63}\cdot {10}^{24}-\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\mid }{\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}}=\mathrm{0,225}$

${\epsilon }_r=\mathrm{22,5}\mathrm{\%}$

La incertidumbre relativa del resultado es del 22,5 %, un valor enorme para una magnitud que debería salir con tres cifras significativas. Merece la pena ver de dónde viene, porque la propia dispersión de la tabla lo delata: los cuatro valores no se agrupan alrededor de una media, sino que se separan hasta en un factor 2.

Si se representa $T^2$ frente a $r^3$, la tercera ley de Kepler obliga a que todos los puntos caigan sobre una recta que pase por el origen:



Los satélites O3B PFM y NOAA se ajustan a la recta y dan $\mathrm{5,95}\cdot {10}^{24}$ y $\mathrm{6,04}\cdot {10}^{24}$ kg. Con solo esos dos:

$\overline{M_T}=\mathrm{6,00}\cdot {10}^{24}\text{ kg}{\epsilon }_r=\mathrm{0,3}\mathrm{\%}$

Los otros dos se apartan porque sus datos no son coherentes:

- Para GOES 2, un período de $\mathrm{8,694}\cdot {10}^4$ s (algo más de un día) corresponde a la órbita geoestacionaria, de radio $\mathrm{4,24}\cdot {10}^7$ m. La cifra de la tabla, 36005 km, es la altura sobre la superficie y no la distancia al centro de la Tierra; sumándole el radio terrestre se obtiene $M_T=\mathrm{5,96}\cdot {10}^{24}$ kg, ya compatible con el resto.
- Para DELTA 1-R/B, un período de 158 min exigiría un radio de $\mathrm{9,68}\cdot {10}^6$ m y no los $\mathrm{7,595}\cdot {10}^6$ m de la tabla, de modo que sus dos datos son incompatibles entre sí y hay que descartarlo.

La conclusión de la práctica es que la tercera ley de Kepler permite pesar la Tierra con un error inferior al 1 % siempre que los datos de partida sean coherentes, y que la gráfica $T^2$ frente a $r^3$ es la herramienta que detecta las medidas defectuosas.