Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

A.1.-La aceleración de la gravedad en Urano tiene un valor de $\mathrm{8,9}{\displaystyle \frac{m}{s^2}}$. Calcular:

a) El radio medio de Urano
b) El peso en Urano de un objeto cuyo peso en la superficie de la Tierra es 1100 N.
c) La velocidad de escape de la superficie de Urano.

Datos:
$G=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}N\cdot m^2\cdot K{g}^{-2}$; $M_T=\mathrm{5,98}\times {10}^{24}kg$; $R_T=6370Km$
$M_U=\mathrm{8,68}\times {10}^{25}Kg$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Urano.}}$

La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta es la intensidad de su campo gravitatorio allí, que se obtiene igualando el peso de un cuerpo a la atracción gravitatoria; la masa del cuerpo se simplifica.

$m{g}_U=G{\displaystyle \frac{M_{U}m}{R_U^2}}\Rightarrow g_U={\displaystyle \frac{G{M}_U}{R_U^2}}$

$R_U=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_U}{g_U}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,68}\cdot {10}^{25}}{\mathrm{8,9}}}}$

$R_U=\mathrm{2,55}\cdot {10}^7\text{ m}$

El radio medio de Urano es de $\mathrm{2,55}\cdot {10}^7\text{ m}$, unos $25500\text{ km}$, es decir, cuatro veces el radio terrestre.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Urano}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{cuyo}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{1100}}\mathbf{\text{N.}}$

La masa del objeto es la misma en los dos planetas; lo que cambia es la gravedad. Se calcula primero la terrestre con los datos del enunciado:

$g_T={\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{{(\mathrm{6,37}\cdot {10}^6)}^2}}=\mathrm{9,83}{\text{m/s}}^2$

$m={\displaystyle \frac{P_T}{g_T}}={\displaystyle \frac{1100}{\mathrm{9,83}}}=112\text{ kg}$

$P_U=m{g}_U=112\cdot \mathrm{8,9}=996\text{ N}$

Se llega a lo mismo sin calcular la masa, sin más que hacer la proporción entre los dos pesos:

$P_U=P_T{\displaystyle \frac{g_U}{g_T}}=1100\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{8,9}}{\mathrm{9,83}}}=996\text{ N}$

El objeto pesaría en Urano unos $996\text{ N}$, un nueve por ciento menos que en la Tierra. Resulta llamativo que un planeta con casi quince veces la masa terrestre tenga una gravedad superficial ligeramente menor, pero se explica por su enorme radio: la distancia entra al cuadrado y compensa de sobra la masa. El solucionario oficial da $999\text{ N}$ por haber redondeado la gravedad terrestre a $\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Urano.}}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica final cero. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_e^2-{\displaystyle \frac{G{M}_{U}m}{R_U}}=0\Rightarrow v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_U}{R_U}}}$

La masa del cuerpo vuelve a simplificarse: la velocidad de escape es la misma para una piedra que para una nave.

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,68}\cdot {10}^{25}}{\mathrm{2,55}\cdot {10}^7}}}=\mathrm{2,13}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

La velocidad de escape desde la superficie de Urano es de $\mathrm{2,13}\cdot {10}^4\text{ m/s}$, unos $21\text{ km/s}$, casi el doble de la terrestre. Se obtiene también, de forma más rápida, escribiéndola en función de la gravedad superficial: $v_e=\sqrt{2g_U{R}_U}$.