Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

1. El satélite más cercano a Júpiter, Io, tiene un radio $R_{Io}=1.82\times {10}^{6}m$, y su masa es $M_{Io}=8.94\times {10}^{22}kg$. Si se lanza desde su superficie un cohete que alcanza una altura máxima $h=(9\mathrm{/}7)R_{Io}$, determina:

a) la velocidad inicial con la que se ha lanzado el cohete para alcanzar dicha altura.
b) el valor de la aceleración de la gravedad sobre la superficie de Io, y en el punto más alto que alcanza el cohete.
c) ¿Cuál sería el periodo de rotación orbital del cohete a dicha altura, si permaneciese en el punto más alto describiendo una trayectoria circular?
Datos:
$G=\mathrm{6,67}{10}^{-11}{\displaystyle \frac{N{m}^2}{k{g}^2}}$

Conviene fijar antes de nada la distancia al centro de Io a la que llega el cohete, que es la que interviene en todas las expresiones:

$r=R_{Io}+h=R_{Io}+{\displaystyle \frac{9}{7}}{R}_{Io}={\displaystyle \frac{16}{7}}{R}_{Io}=\mathrm{4,16}\cdot {10}^6\text{ m}$

$G{M}_{Io}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,94}\cdot {10}^{22}=\mathrm{5,96}\cdot {10}^{12}\text{ N}{\text{m}}^2\text{/kg}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{lanzado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cohete}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{altura.}}$

El campo gravitatorio es conservativo, de modo que la energía mecánica del cohete se conserva entre el lanzamiento y el punto más alto. Como se pide la altura máxima, allí la velocidad es nula y toda la energía es potencial.

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2-{\displaystyle \frac{G{M}_{Io}m}{R_{Io}}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{Io}m}{r}}$

La masa del cohete se simplifica. Sustituyendo $r=\frac{16}{7}{R}_{Io}$:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_0^2=G{M}_{Io}({\displaystyle \frac{1}{R_{Io}}}-{\displaystyle \frac{7}{16R_{Io}}})={\displaystyle \frac{9}{16}}{\displaystyle \frac{G{M}_{Io}}{R_{Io}}}$

$v_0={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_{Io}}{2R_{Io}}}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{5,96}\cdot {10}^{12}}{2\cdot \mathrm{1,82}\cdot {10}^6}}}$

$v_0=\mathrm{1,92}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El cohete se lanzó con una velocidad inicial de $\mathrm{1,92}\cdot {10}^3\text{ m/s}$. Conviene comprobar que es menor que la velocidad de escape de Io, $v_e=\sqrt{2GM\mathrm{/}R}=\mathrm{2,56}\cdot {10}^3\text{ m/s}$, como debe ser, ya que el cohete vuelve a caer.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Io,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{alto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cohete.}}$

La intensidad del campo gravitatorio es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro del astro:

$g={\displaystyle \frac{G{M}_{Io}}{R_{Io}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,96}\cdot {10}^{12}}{{(\mathrm{1,82}\cdot {10}^6)}^2}}=\mathrm{1,80}{\text{m/s}}^2$

$g_h={\displaystyle \frac{G{M}_{Io}}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,96}\cdot {10}^{12}}{{(\mathrm{4,16}\cdot {10}^6)}^2}}=\mathrm{0,345}{\text{m/s}}^2$

En la superficie de Io la gravedad vale $\mathrm{1,80}{\text{m/s}}^2$, aproximadamente la sexta parte de la terrestre, y en el punto más alto que alcanza el cohete, $\mathrm{0,345}{\text{m/s}}^2$. La relación entre ambas es $(7\mathrm{/}16{)}^2$, como corresponde a la dependencia con el inverso del cuadrado.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rotaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cohete}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{altura,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{permaneciese}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{alto}}\mathbf{\text{describiendo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{circular?}}$

Para una órbita circular, la atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta. Escribiendo la velocidad orbital en función del periodo se llega directamente a la tercera ley de Kepler:

${\displaystyle \frac{G{M}_{Io}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}}r\Rightarrow T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{G{M}_{Io}}}}$

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{{(\mathrm{4,16}\cdot {10}^6)}^3}{\mathrm{5,96}\cdot {10}^{12}}}}=\mathrm{2,18}\cdot {10}^4\text{ s}$

El periodo de esa órbita sería de $\mathrm{2,18}\cdot {10}^4\text{ s}$, poco más de seis horas. La velocidad orbital correspondiente es $v_{orb}=2\pi r\mathrm{/}T=\mathrm{1,20}\cdot {10}^3\text{ m/s}$: menor que la velocidad con la que se lanzó el cohete, aunque para mantener la órbita habría que comunicársela en dirección tangencial, no vertical.