Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

A.1.- Se ha enviado al espacio una nave tripulada, con una masa nave y astronauta de 2500 kg; que se ha puesto en órbita a 315 km desde la superficie de la Tierra.

a) Determina la aceleración de la gravedad debida a la Tierra en el punto de la órbita indicada.
b) Calcula el número de vueltas que ha dado la nave alrededor de la Tierra en 90 s.
c) ¿Qué energía extra mínima hay que aportar para que desde esa órbita abandone completamente la influencia de la Tierra?

Datos:
$G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\mathrm{/}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2$
Masa de la Tierra: $M_T=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}$
Radio de la Tierra: $R_T=6371\mathrm{k}\mathrm{m}$

Conviene fijar de entrada el radio de la órbita, que es la distancia de la nave al centro de la Tierra y no la altura sobre la superficie:

$r=R_T+d=6371\cdot {10}^3+315\cdot {10}^3=\mathrm{6,686}\cdot {10}^6\text{ m}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{debida}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{indicada.}}$

La aceleración de la gravedad en un punto es la intensidad del campo gravitatorio en él, es decir, la fuerza por unidad de masa. Igualando la segunda ley de Newton con la ley de gravitación universal, la masa de la nave se simplifica:

$F_g=mg=G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}\Rightarrow g={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r^2}}$

$g={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{{(\mathrm{6,686}\cdot {10}^6)}^2}}=\mathrm{8,91}{\text{m/s}}^2$

A la altura de la órbita la gravedad vale $\mathrm{8,91}{\text{m/s}}^2$, apenas un $9\mathrm{\%}$ menos que en la superficie. La ingravidez que experimentan los astronautas no se debe, por tanto, a la ausencia de gravedad, sino a que están en caída libre permanente alrededor del planeta.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vueltas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{s.}}$

La gravedad calculada es justamente la aceleración centrípeta del movimiento circular de la nave. Escribiéndola en función del periodo se despeja este:

$a_n={\displaystyle \frac{v^2}{r}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}=g\Rightarrow T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r}{g}}}$

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,686}\cdot {10}^6}{\mathrm{8,91}}}}=\mathrm{5,44}\cdot {10}^3\text{ s}$

$n={\displaystyle \frac{t}{T}}={\displaystyle \frac{90}{\mathrm{5,44}\cdot {10}^3}}=\mathrm{0,017}\text{ vueltas}$

En $90\text{ s}$ la nave recorre solo $\mathrm{0,017}$ vueltas, es decir, menos de la sexagésima parte de una órbita: dar una vuelta completa le lleva algo más de una hora y media.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{extra}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aportar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{esa}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{abandone}}\mathbf{\text{completamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{influencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra?}}$

Abandonar completamente la influencia de la Tierra significa llegar al infinito, donde tanto la energía potencial como la cinética son nulas, de modo que la energía mecánica final es cero. La energía mínima que hay que aportar es la que falta para pasar de la energía mecánica de la órbita a ese valor nulo. En una órbita circular:

$E_m=E_c+E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

$\mathrm{\Delta }E=0-E_m={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot 2500}{2\cdot \mathrm{6,686}\cdot {10}^6}}$

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{7,44}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

Hay que aportar como mínimo $\mathrm{7,44}\cdot {10}^{10}\text{ J}$, que es la llamada energía de escape desde esa órbita. Es exactamente igual a la energía cinética que la nave ya tiene: bastaría con multiplicar su velocidad orbital por $\sqrt{2}$, lo que duplica esa energía cinética, para que escapara.