Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

PROBLEMA 1 - PROBLEMA - OPCIÓN A

Dos estrellas, $A$ y $B$, del sistema IK Pegasi se encuentran en la posición indicada en la figura, separadas entre sí una distancia $6d$. Calcula razonadamente:

a) El vector campo gravitatorio total en el punto $P(0,4d)$. (1 punto)
b) La energía potencial de un cuerpo de masa $1kg$ situado en el punto $P$. ¿Qué velocidad mínima deberá tener dicho cuerpo para alejarse indefinidamente del sistema estelar, partiendo del punto $P$? (1 punto)

Datos: $d=5\cdot {10}^9\text{m}$; constante de gravitación universal, $G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N{m}^2}{k{g}^2}$; masa de la estrella $A$, $M_A=3,3\cdot {10}^{30}\text{ kg}$; masa de la estrella $B$, $M_B=2,3\cdot {10}^{30}\text{ kg}$

Campo ${\vec{g}}_A$:

${\vec{r}}_A=\overrightarrow{AP}=(0,4d)-(-3d,0)=(3d,4d)$

$r_A=\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}\mathrm{\mid }=\sqrt{(3d{)}^2+(4d{)}^2}=\sqrt{25d^2}=5d$

${\vec{u}}_{r_A}=\frac{1}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}\mathrm{\mid }}\overrightarrow{AP}=\frac{1}{5d}(3d,4d)=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$

${\vec{g}}_A=-G\frac{M_A}{r_A^2}{\vec{u}}_{r_A}=-G\frac{M_A}{25d^2}(\frac{3}{5},\frac{4}{5})=(-\mathrm{0,21},-\mathrm{0,28})\text{N/kg}$

Campo ${\vec{g}}_B$:

${\vec{r}}_B=\overrightarrow{BP}=(0,4d)-(3d,0)=(-3d,4d)$

$r_B=\mathrm{\mid }\overrightarrow{BP}\mathrm{\mid }=\sqrt{(-3d{)}^2+(4d{)}^2}=5d$

${\vec{u}}_{r_B}=\frac{1}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{BP}\mathrm{\mid }}\overrightarrow{BP}=\frac{1}{5d}(-3d,4d)=(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})$

${\vec{g}}_B=-G\frac{M_B}{r_B^2}{\vec{u}}_{r_B}=-G\frac{M_B}{25d^2}(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})=(\mathrm{0,15},-\mathrm{0,2})\text{N/kg}$






Por el principio de superposición:

${\vec{g}}_{\text{total},P}={\vec{g}}_A+{\vec{g}}_B=(-\mathrm{0,06},-\mathrm{0,48})\text{N/kg}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>kg</mtext></mrow>}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alejarse}}\mathbf{\text{indefinidamente}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{estelar,}}\mathbf{\text{partiendo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Una masa $m=1\text{kg}$ situada en $P$ tendrá una energía potencial dada por:

$E_p=E_{p_A}+E_{p_B}=-G\frac{M_{A}m}{r_A}-G\frac{M_{B}m}{r_B}$

$=-\frac{Gm}{r}(M_A+M_B)=-\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 1}{5\cdot 5\cdot {10}^9}(\mathrm{3,3}\cdot {10}^{30}+\mathrm{2,3}\cdot {10}^{30})$

$=-\mathrm{1,49}\cdot {10}^{10}\text{J}$

Para que dicho cuerpo se aleje indefinidamente del sistema estelar, tendremos que comunicarle una energía cinética de modo que su energía asociada al campo sea nula. Por tanto:

$\mathrm{\Delta }{E}_c=+\mathrm{1,49}\cdot {10}^{10}\text{J}$

$\frac{1}{2}m{V}^2=\mathrm{1,49}\cdot {10}^{10}\Rightarrow V=\sqrt{2\cdot \mathrm{1,49}\cdot {10}^{10}}=\mathrm{1,73}\cdot {10}^5\text{m/s}$