Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

C1. Obtener por análisis dimensional los exponentes $a$ y $b$ en la expresión física $E={\displaystyle \frac{m{c}^a}{\sqrt{1-v^2\mathrm{/}{c}^b}}}$, donde $E$ es una energía, $m$ masa, $v$ velocidad y $c$ la velocidad de la luz en el vacío. (1 punto)

El análisis dimensional se apoya en el principio de homogeneidad: los dos miembros de una ecuación física deben tener las mismas dimensiones y, dentro de una suma o una resta, todos los términos deben ser dimensionalmente iguales. Escribimos las magnitudes en la base masa, longitud y tiempo:

$[E]=M{L}^2{T}^{-2}[m]=M[v]=[c]=L{T}^{-1}$

Empezamos por el exponente $b$. El radicando contiene una resta con el número uno, que es adimensional, de manera que el otro sumando debe serlo también:

$\left[{\displaystyle \frac{v^2}{c^b}}\right]={\displaystyle \frac{(L{T}^{-1}{)}^2}{(L{T}^{-1}{)}^b}}=L^{2-b}{T}^{-2+b}=M^0{L}^0{T}^0$

Igualando los exponentes resulta $2-b=0$, es decir, $b=2$. El denominador es, por tanto, adimensional.

Como el denominador no aporta dimensiones, las de la energía provienen únicamente del numerador:

$M{L}^2{T}^{-2}=M\cdot (L{T}^{-1}{)}^a=M{L}^a{T}^{-a}$

Igualando término a término, la longitud da $a=2$ y el tiempo confirma el mismo valor, mientras que la masa se satisface de forma automática.

Los exponentes son, por tanto, $a=2$ y $b=2$, con lo que la expresión queda

$E={\displaystyle \frac{m{c}^2}{\sqrt{1-v^2\mathrm{/}{c}^2}}}=\gamma m{c}^2$

que es precisamente la energía relativista total de una partícula, con el factor de Lorentz adimensional. En el límite de velocidades pequeñas se recupera la energía en reposo $E_0=m{c}^2$.