Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

P1. El pasado 21 de diciembre se produjo una conjunción entre Júpiter y Saturno, consistente en que desde la Tierra ambos planetas se veían juntos casi como un único punto. Ello es debido a que en ese momento la Tierra, Júpiter y Saturno estaban en una misma recta.

a) Determinar el periodo orbital de Júpiter en años. (1 punto)

b) Determinar la fuerza gravitatoria que Júpiter y Saturno ejercian sobre la Tierra ese dia. (1 punto)

c) Si consideramos la influencia de Júpiter y Saturno, determinar la distancia respecto de Saturno sobre la recta que los une en que la fuerza gravitatoria es nula. (1 punto)

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$; masa del Sol $=2\cdot {10}^{30}\text{ kg}$; masa de Júpiter $=\mathrm{1,9}\cdot {10}^{27}\text{ kg}$; masa de Saturno $=\mathrm{5,7}\cdot {10}^{26}\text{ kg}$; masa de la Tierra $=\mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; distancia Tierra-Sol $=\mathrm{1,5}\cdot {10}^8\text{ km}$; distancia Sol-Júpiter $=\mathrm{7,8}\cdot {10}^8\text{ km}$; distancia Sol-Saturno $=\mathrm{14,3}\cdot {10}^8\text{ km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Aplicamos la tercera ley de Kepler, que relaciona el periodo de revolución de un planeta con el radio de su órbita. Tomando la Tierra como referencia, con $T_T=1\text{a}\tilde{\text{n}}\text{o}$:

${\displaystyle \frac{T_J^2}{T_T^2}}={\displaystyle \frac{r_J^3}{r_T^3}}\Rightarrow T_J=T_T{\left({\displaystyle \frac{r_J}{r_T}}\right)}^{3\mathrm{/}2}$

Sustituimos los radios orbitales:

$T_J={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{7,8}\cdot {10}^8}{\mathrm{1,5}\cdot {10}^8}}\right)}^{3\mathrm{/}2}=(\mathrm{5,2}{)}^{3\mathrm{/}2}=\mathrm{11,9}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

Júpiter tarda unos $\mathrm{11,9}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$ en completar una vuelta al Sol, valor muy próximo al real.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{Saturno}}\mathbf{\text{ejerc}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

En la conjunción los tres planetas están alineados y al mismo lado del Sol, así que las distancias a la Tierra son las diferencias de los radios orbitales:

$d_{TJ}=(\mathrm{7,8}-\mathrm{1,5})\cdot {10}^8\text{ km}=\mathrm{6,3}\cdot {10}^{11}\text{ m}$

$d_{TS}=(\mathrm{14,3}-\mathrm{1,5})\cdot {10}^8\text{ km}=\mathrm{1,28}\cdot {10}^{12}\text{ m}$

Aplicamos la ley de gravitación universal a cada planeta:

$F_J=G{\displaystyle \frac{m_T{m}_J}{d_{TJ}^2}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}{\displaystyle \frac{\mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}\cdot \mathrm{1,9}\cdot {10}^{27}}{(\mathrm{6,3}\cdot {10}^{11}{)}^2}}=\mathrm{1,92}\cdot {10}^{18}\text{ N}$

$F_S=G{\displaystyle \frac{m_T{m}_S}{d_{TS}^2}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}{\displaystyle \frac{\mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}\cdot \mathrm{5,7}\cdot {10}^{26}}{(\mathrm{1,28}\cdot {10}^{12}{)}^2}}=\mathrm{1,39}\cdot {10}^{17}\text{ N}$

Como ambos planetas están en la misma dirección y al mismo lado, las dos fuerzas son paralelas y del mismo sentido, de modo que se suman:

$F=\mathrm{1,92}\cdot {10}^{18}+\mathrm{1,39}\cdot {10}^{17}=\mathrm{2,05}\cdot {10}^{18}\text{ N}$

La atracción conjunta es de $\mathrm{2,05}\cdot {10}^{18}\text{ N}$, y la domina Júpiter, que es a la vez el más masivo y el más cercano.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{consideramos}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{influencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{Saturno,}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Saturno}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{une}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{nula.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










El punto neutro está entre los dos planetas, que es donde sus campos tienen sentidos opuestos. Su separación es:

$d=(\mathrm{14,3}-\mathrm{7,8})\cdot {10}^8\text{ km}=\mathrm{6,5}\cdot {10}^{11}\text{ m}$

Llamamos $x$ a la distancia a Saturno e igualamos los módulos de los dos campos.





${\displaystyle \frac{G{m}_J}{(d-x{)}^2}}={\displaystyle \frac{G{m}_S}{x^2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{x}{d-x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{m_S}{m_J}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{5,7}\cdot {10}^{26}}{\mathrm{1,9}\cdot {10}^{27}}}}=\mathrm{0,548}$

Despejamos:

$x={\displaystyle \frac{\mathrm{0,548}}{1+\mathrm{0,548}}}d=\mathrm{0,354}\cdot \mathrm{6,5}\cdot {10}^{11}=\mathrm{2,30}\cdot {10}^{11}\text{ m}$

El punto neutro está a $\mathrm{2,30}\cdot {10}^{11}\text{ m}$ de Saturno, y por tanto a $\mathrm{4,20}\cdot {10}^{11}\text{ m}$ de Júpiter: queda más cerca de Saturno, como cabía esperar, por ser este el planeta de menor masa.