Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

P1. (3 puntos) La estrella más brillante en el cielo nocturno es Sirio y hoy sabemos que en realidad es un sistema binario compuesto por dos estrellas, llamadas Sirio A y Sirio B, separadas entre sí una distancia $d=3\cdot {10}^9\text{ km}$. La masa de Sirio A es el doble que la del Sol y la de Sirio B es igual a la masa del Sol. Supongamos que hubiera un planeta de la misma masa que la Tierra y de la misma densidad que la Tierra colocado formando un triángulo equilátero con las estrellas, como indica la figura. Determinar:

a) El radio del planeta y la velocidad de escape desde la superficie de ese planeta. (1 punto)

b) El campo gravitatorio ejercido por Sirio A más Sirio B en el punto donde está el planeta. (1 punto)

c) La energía gravitatoria total del sistema. (1 punto)

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$; masa del Sol $=2\cdot {10}^{30}\text{ kg}$; masa de la Tierra $=\mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; densidad de la Tierra $=5500{\text{kg/m}}^3$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El planeta tiene la misma masa y la misma densidad que la Tierra, así que ocupa el mismo volumen y tiene su mismo radio. Lo calculamos a partir de la definición de densidad:

$V={\displaystyle \frac{M}{\rho }}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}}{5500}}=\mathrm{1,09}\cdot {10}^{21}{\text{m}}^3$

Como el planeta es esférico:

$R=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3V}{4\pi }}}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3\cdot \mathrm{1,09}\cdot {10}^{21}}{4\pi }}}=\mathrm{6,39}\cdot {10}^6\text{ m}$

La velocidad de escape se obtiene imponiendo que la energía mecánica sea nula, es decir, que el cuerpo llegue al infinito en reposo:

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,39}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{1,12}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

El radio es de unos $6390\text{ km}$ y la velocidad de escape, de $\mathrm{11,2}\text{ km/s}$: exactamente los valores terrestres, como cabía esperar de un planeta con la misma masa y la misma densidad que la Tierra.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{ejercido}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{Sirio}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{Sirio}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Las tres masas forman un triángulo equilátero de lado $d=3\cdot {10}^{12}\text{ m}$, de modo que cada estrella dista del planeta esa misma distancia. El campo de cada una apunta hacia ella:

$g_A={\displaystyle \frac{G{M}_A}{d^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 4\cdot {10}^{30}}{(3\cdot {10}^{12}{)}^2}}=\mathrm{2,96}\cdot {10}^{-5}\text{ N/kg}$

$g_B={\displaystyle \frac{G{M}_B}{d^2}}=\mathrm{1,48}\cdot {10}^{-5}\text{ N/kg}$





Por el principio de superposición sumamos los dos campos. Como el ángulo del triángulo equilátero en el vértice del planeta es de ${60}^{\circ }$, aplicamos el teorema del coseno:

$g=\sqrt{g_A^2+g_B^2+2g_A{g}_B\cos {60}^{\circ }}$

$g=\sqrt{(\mathrm{2,96}{)}^2+(\mathrm{1,48}{)}^2+2\cdot \mathrm{2,96}\cdot \mathrm{1,48}\cdot \mathrm{0,5}}\cdot {10}^{-5}=\mathrm{3,92}\cdot {10}^{-5}\text{ N/kg}$

El campo resultante vale $\mathrm{3,92}\cdot {10}^{-5}\text{ N/kg}$ y apunta hacia el interior del triángulo, formando unos ${19}^{\circ }$ con la dirección de Sirio A, que es la estrella más masiva y por tanto la que más tira.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La energía potencial gravitatoria de un sistema es la suma de las energías de todas las parejas de masas, y aquí las tres distancias valen $d$:

$E_p=-{\displaystyle \frac{G}{d}}(M_A{M}_B+M_A{M}_P+M_B{M}_P)$

Calculamos cada término:

$E_{AB}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 4\cdot {10}^{30}\cdot 2\cdot {10}^{30}}{3\cdot {10}^{12}}}=-\mathrm{1,78}\cdot {10}^{38}\text{ J}$

$E_{AP}=-\mathrm{5,34}\cdot {10}^{32}\text{ J}{E}_{BP}=-\mathrm{2,67}\cdot {10}^{32}\text{ J}$

Los dos términos en que interviene el planeta son seis órdenes de magnitud menores que el de las dos estrellas, de modo que resultan despreciables:

$E_p=-\mathrm{1,78}\cdot {10}^{38}\text{ J}$

El signo negativo indica que el sistema está ligado gravitatoriamente, y el valor lo domina por completo la pareja de estrellas.