Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

T1. Energía potencial gravitatoria. (1 punto)

$\mathbf{\text{T1.}}\mathbf{\text{Energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatoria.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La fuerza gravitatoria es central y conservativa: el trabajo que realiza al desplazar una masa entre dos puntos no depende de la trayectoria, sino solo de las posiciones inicial y final. Por eso puede asociársele una energía potencial, definida de modo que el trabajo de la fuerza sea igual a su disminución:

$W_{1\to 2}=-\mathrm{\Delta }{E}_p=E_{p1}-E_{p2}$

Para obtener su expresión calculamos el trabajo de la fuerza gravitatoria al traer una masa $m$ desde el infinito hasta una distancia $r$ de otra masa $M$, tomando el infinito como origen de energías:

$E_p(r)=-{\int }_{\mathrm{\infty }}^r\vec{F}\cdot d\vec{r}=-{\int }_{\mathrm{\infty }}^r(-G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}})dr$

$E_p(r)=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

Se mide en julios y es una magnitud escalar.










El signo negativo tiene un significado preciso. Como la fuerza es atractiva y el origen está en el infinito, la energía potencial es siempre negativa a distancia finita. Al acercar las masas se hace más negativa, señal de que el sistema está más ligado; al alejarlas crece hacia cero. Su gráfica es una hipérbola situada por debajo del eje.





Conviene distinguirla del potencial gravitatorio $V(r)=-GM\mathrm{/}r$, que es la energía potencial por unidad de masa y se mide en julios por kilogramo, de modo que $E_p=mV$. El potencial es una propiedad del campo creado por $M$, mientras que la energía potencial pertenece al sistema de las dos masas que interaccionan.

La aplicación inmediata es el cálculo de la energía necesaria para separar dos cuerpos. Para llevar una masa desde la superficie de un planeta hasta el infinito hace falta:

$W_{\text{ext}}=0-(-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}})=G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}$

que es la energía de enlace y de la que se deduce la velocidad de escape $v_e=\sqrt{2GM\mathrm{/}R}$. El carácter negativo y la dependencia con el inverso de la distancia son, además, la base de la conservación de la energía mecánica en las órbitas.