Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

BLOQUE II. CUESTIONES (ELIJA DOS) (1+1=2 PUNTOS)

C1. Describirnos un planeta de la misma densidad que la Tierra pero cuyo radio es el doble que el de ésta. ¿Cuántas veces mayor que la de la Tierra será la velocidad de escape desde la superficie de ese planeta? (1 punto)

$\mathbf{\text{C1.}}\mathbf{\text{Consideremos}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{misma}}\mathbf{\text{densidad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{cuyo}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{planeta?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La velocidad de escape desde la superficie de un astro de masa $M$ y radio $R$ se obtiene imponiendo que la energía mecánica sea nula:

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$

Como el enunciado fija la densidad y no la masa, expresamos esta última en función de la densidad y del volumen de una esfera:

$M=\rho V=\rho {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3$

Sustituimos en la expresión de la velocidad de escape:

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G}{R}}\cdot \rho {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3}=\sqrt{{\displaystyle \frac{8\pi G\rho }{3}}}R$

Aparece así el resultado clave: a igualdad de densidad, la velocidad de escape es directamente proporcional al radio, pues todo lo demás son constantes comunes a los dos astros.

${\displaystyle \frac{v_e^{\mathrm{\prime }}}{v_{e,T}}}={\displaystyle \frac{R^{\mathrm{\prime }}}{R_T}}={\displaystyle \frac{2R_T}{R_T}}=2$

La velocidad de escape desde ese planeta es el doble que la terrestre. Conviene notar por qué: al duplicar el radio manteniendo la densidad, la masa se multiplica por ocho, pero el radio del denominador solo por dos, y el cociente $M\mathrm{/}R$ queda multiplicado por cuatro; su raíz cuadrada da el factor dos.