Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

C1. Calcular el periodo (en días) y la velocidad orbital de la Luna en su trayectoria alrededor de la Tierra.

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot m^2\cdot k{g}^{-2}$; masa de la Tierra $\mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}kg$; masa de la Luna $\mathrm{7,3}\cdot {10}^{22}kg$; distancia Tierra-Luna (entre centros) $=384000km$.

$\mathbf{\text{C1.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$










Modelamos la órbita de la Luna como un movimiento circular uniforme de radio $r=\mathrm{3,84}\cdot {10}^8\text{ m}$. La única fuerza que actúa sobre ella es la atracción de la Tierra, que hace de fuerza centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{M_T{m}_L}{r^2}}=m_L{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$





La masa de la Luna aparece a ambos lados y se simplifica: el movimiento orbital no depende de la masa del cuerpo que orbita, y por eso ese dato del enunciado no interviene en el cálculo. Despejando la velocidad:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,0}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{3,84}\cdot {10}^8}}}$

$v=\mathrm{1,02}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Para el periodo escribimos la velocidad como $v=2\pi r\mathrm{/}T$ y obtenemos la tercera ley de Kepler:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{G{M}_T}}}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{(\mathrm{3,84}\cdot {10}^8{)}^3}{\mathrm{4,00}\cdot {10}^{14}}}}$

$T=\mathrm{2,36}\cdot {10}^6\text{ s}$

Convertimos a días dividiendo entre $86400\text{s/d}\acute{\text{ı}}\text{a}$:

$T={\displaystyle \frac{\mathrm{2,36}\cdot {10}^6}{86400}}=\mathrm{27,4}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

La Luna recorre su órbita en $\mathrm{27,4}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$ a una velocidad de $\mathrm{1,02}\text{ km/s}$, valores muy próximos a los reales del mes sidéreo, $\mathrm{27,3}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$, y de la velocidad orbital media lunar.