Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Bloque 1: Campo gravitatorio. Opción 1-A.

a) (1,25p) Partiendo de la ley de la gravitación universal de Newton, deduzca la expresión de la velocidad orbital de un planeta que se mueve en una órbita circular de radio $r$ alrededor de una estrella de masa $M$. (ii) Calcular el periodo orbital de Júpiter en años.
Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot m^2\mathrm{/}k{g}^2$, masa del Sol $=2\cdot {10}^{30}kg$, radio orbital de Júpiter $=\mathrm{7,8}\cdot {10}^{8}km$.

b) (1,25p) El asteroide 433-Eros sigue una órbita elíptica alrededor del Sol con un perihelio (punto más cercano al Sol) a $\mathrm{1,13}\text{ UA}$ de distancia del Sol y un afelio (punto más alejado del Sol) a $\mathrm{1,78}\text{ UA}$. Si en el perihelio su velocidad orbital es de $\mathrm{24,4}\text{ km/s}$, calcular su velocidad en el afelio, asumiendo que el único cuerpo que ejerce fuerza sobre el asteroide es el Sol. Dato: $1\text{UA (Unidad Astron}\acute{\text{o}}\text{mica)}=150\cdot {10}^{6}km$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Partiendo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravitaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{universal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Newton,}}\mathbf{\text{deduzca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio}}\mathit{r}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{estrella}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa}}\mathit{M}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(ii)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{J}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{piter}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

En una órbita circular la única fuerza sobre el planeta es la atracción gravitatoria de la estrella, que hace de fuerza centrípeta. Aplicamos la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

La masa $m$ del planeta se cancela y queda:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}$

La velocidad orbital depende solo de la masa de la estrella y del radio de la órbita.

ii) El periodo es el tiempo que tarda el planeta en recorrer la circunferencia completa:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi r}{\sqrt{GM\mathrm{/}r}}}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{GM}}}$

que es precisamente la tercera ley de Kepler. Pasamos el radio orbital al Sistema Internacional y sustituimos:

$r=\mathrm{7,8}\cdot {10}^8\text{ km}=\mathrm{7,8}\cdot {10}^{11}\text{ m}$

$GM=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 2\cdot {10}^{30}=\mathrm{1,334}\cdot {10}^{20}{\text{m}}^3\mathrm{/}{\text{s}}^2$

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{(\mathrm{7,8}\cdot {10}^{11}{)}^3}{\mathrm{1,334}\cdot {10}^{20}}}}=\mathrm{3,75}\cdot {10}^8\text{ s}$

Como un año equivale a $\mathrm{3,156}\cdot {10}^7\text{ s}$:

$T={\displaystyle \frac{\mathrm{3,75}\cdot {10}^8}{\mathrm{3,156}\cdot {10}^7}}=\mathrm{11,9}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

El periodo orbital de Júpiter es de unos $\mathrm{11,9}\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$, en buen acuerdo con el valor real.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{asteroide}}\mathbf{\text{433-Eros}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ptica}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sol}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{perihelio}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1,13</mn><mtext> UA</mtext></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{afelio}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1,78</mn><mtext> UA</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{perihelio}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">24,4</mn><mtext> km/s</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{afelio.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










La atracción del Sol es una fuerza central, siempre dirigida hacia él, de modo que su momento respecto del Sol es nulo y el momento angular del asteroide se conserva.

En el perihelio y en el afelio la velocidad es perpendicular al radio vector, así que el momento angular vale simplemente $L=mvr$.





Igualamos el momento angular en ambos puntos, que es la segunda ley de Kepler o ley de las áreas:

$m{v}_p{r}_p=m{v}_a{r}_a\Rightarrow v_a=v_p{\displaystyle \frac{r_p}{r_a}}$

En el cociente de radios las unidades astronómicas se cancelan, así que no hace falta convertirlas:

$v_a=\mathrm{24,4}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{1,13}}{\mathrm{1,78}}}=\mathrm{15,5}\text{ km/s}$

En el afelio el asteroide se mueve a $\mathrm{15,5}\text{ km/s}$, menos que en el perihelio: al alejarse del Sol el asteroide se frena, tal y como exige la conservación del momento angular.