Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Bloque 1: Campo gravitatorio. Opción 1-A.

a) (1{,}25 puntos) Desde la superficie de la Luna, se lanza una cápsula espacial con una velocidad inicial igual al doble de la velocidad de escape lunar. Determinar la velocidad de la cápsula cuando se encuentra a una distancia infinita de la Luna, despreciando la influencia gravitatoria de la Tierra u otros astros.
Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$, masa de la Luna: $\mathrm{7,3}\cdot {10}^{22}\text{kg}$, radio de la Luna $=1740\text{km}$.

b) (1{,}25 puntos) El sistema estelar llamado $36\text{-Ophiuchi}$ está formado por tres estrellas casi idénticas, cada una de ellas de masa $\mathrm{0,8}\text{veces}$ la masa del Sol. Si consideramos que cada una se encuentre en los vértices de un triángulo equilátero de lado $200\text{UA}$, calcular la energía potencial total del sistema.
Datos: $1\text{UA (Unidad Astron}\acute{\text{o}}\text{mica)}=150\times {10}^6\text{km}$, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$, masa del Sol $=2\times {10}^{30}\text{kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{lanza}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{psula}}\mathbf{\text{espacial}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{lunar.}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{psula}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{infinita}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La velocidad de escape es la mínima con la que un cuerpo lanzado desde la superficie llega al infinito con velocidad nula. Se obtiene imponiendo que la energía mecánica total sea cero:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,3}\cdot {10}^{22}}{\mathrm{1,74}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{2,37}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La cápsula se lanza con $v_0=2v_{\text{esc}}$. Como el campo gravitatorio es conservativo, aplicamos la conservación de la energía mecánica entre la superficie y el infinito, donde la energía potencial es nula:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\mathrm{\infty }}^2$

Sustituimos $v_0^2=4v_{\text{esc}}^2={\displaystyle \frac{8GM}{R}}$ y despejamos:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_{\mathrm{\infty }}^2={\displaystyle \frac{4GM}{R}}-{\displaystyle \frac{GM}{R}}={\displaystyle \frac{3GM}{R}}\Rightarrow v_{\mathrm{\infty }}=\sqrt{{\displaystyle \frac{6GM}{R}}}=\sqrt{3}{v}_{\text{esc}}$

$v_{\mathrm{\infty }}=\sqrt{3}\cdot \mathrm{2,37}\cdot {10}^3=\mathrm{4,10}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Muy lejos de la Luna la cápsula conserva una velocidad de $\mathrm{4,10}\text{ km/s}$: al lanzarla al doble de la velocidad de escape le sobra energía, y la que le queda en el infinito corresponde a $\sqrt{3}$ veces la velocidad de escape.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{estelar}}\mathbf{\text{llamado}}\mathbf{\text{36-Ophiuchi}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{formado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{estrellas}}\mathbf{\text{casi}}\mathbf{\text{id}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{nticas,}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">0,8</mn>}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sol,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{equil}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lado}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">200</mn><mtext> UA</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










La energía potencial gravitatoria es una propiedad de cada pareja de masas, no de cada cuerpo por separado:

$E_p=-G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{d}}$

Con tres estrellas hay tres parejas distintas, todas con la misma masa y la misma separación, que es el lado del triángulo.





Por tanto, la energía potencial total del sistema es tres veces la de una pareja:

$E_p=3(-G{\displaystyle \frac{m^2}{L}})$

Pasamos los datos al Sistema Internacional:

$m=\mathrm{0,8}\cdot 2\cdot {10}^{30}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{30}\text{ kg}$

$L=200\text{ UA}=200\cdot 150\cdot {10}^9=3\cdot {10}^{13}\text{ m}$

$E_p=-{\displaystyle \frac{3\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot (\mathrm{1,6}\cdot {10}^{30}{)}^2}{3\cdot {10}^{13}}}=-\mathrm{1,71}\cdot {10}^{37}\text{ J}$

La energía potencial total del sistema es $-\mathrm{1,71}\cdot {10}^{37}\text{ J}$. El signo negativo indica que el sistema está ligado: habría que aportar esa energía para separar las tres estrellas hasta el infinito.