Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Bloque 1: Campo gravitatorio [2 puntos]

Los satélites de observación terrestre Sentinel operan en órbitas bajas a una altura $h_1=700\text{ km}$ sobre la superficie terrestre. Los satélites de navegación GPS orbitan a una altura mucho mayor, $h_2=22000\text{ km}$, para garantizar cobertura global. Ambos describen órbitas circulares alrededor de la Tierra.

a) [1p] Calcule el cociente $v_1\mathrm{/}{v}_2$ entre la velocidad orbital de un satélite Sentinel y la de un satélite GPS.

b) [1p] (i) Deduzca razonadamente la expresión de la energía mecánica $E$ de un satélite de masa $m$ que orbita en una trayectoria circular de radio $r$ alrededor de la Tierra. (ii) Utilice dicha expresión para hallar el cociente $E_1\mathrm{/}{E}_2$ entre la energía mecánica de un Sentinel y la de un GPS.

Dato: radio terrestre $=6400\text{ km}$.

Ambos satélites describen órbitas circulares alrededor de la Tierra, de modo que sus radios se miden desde el centro del planeta:

$r_1=R_T+h_1=6400+700=7100\text{ km}$

$r_2=R_T+h_2=6400+22000=28400\text{ km}$







Para hallar la velocidad orbital aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento circular uniforme: la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta.

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{GM}{r}}}$

La velocidad orbital no depende de la masa del satélite, solo del radio de la órbita. Al hacer el cociente se cancelan $G$ y $M$:

${\displaystyle \frac{v_1}{v_2}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{28400}{7100}}}=\sqrt{4}=2$

El satélite Sentinel, por describir una órbita más baja, se mueve al doble de velocidad que el GPS.



i) La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial gravitatoria:

$E=E_c+E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

Sustituimos en la energía cinética la condición de órbita circular obtenida en el apartado anterior, $v^2=GM\mathrm{/}r$:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{\displaystyle \frac{GM}{r}}={\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$

$E={\displaystyle \frac{GMm}{2r}}-{\displaystyle \frac{GMm}{r}}=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}$

La energía mecánica es negativa, señal de que el satélite está ligado al campo gravitatorio terrestre.

ii) Suponiendo la misma masa para los dos satélites, en el cociente se cancela todo salvo los radios:

${\displaystyle \frac{E_1}{E_2}}={\displaystyle \frac{-GMm\mathrm{/}(2r_1)}{-GMm\mathrm{/}(2r_2)}}={\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}={\displaystyle \frac{28400}{7100}}=4$

En valor absoluto la energía mecánica del Sentinel es cuatro veces la del GPS; al ser ambas negativas, esto significa que el Sentinel está mucho más ligado a la Tierra por orbitar más bajo.