Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

PREGUNTA 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA. (2,5 puntos)

TEXTO: SpainSat NG I

El satélite SpainSat NG I, de la empresa española Hisdesat, se lanzó con éxito desde Cabo Cañaveral a las 2:34 del 30 de enero de 2025, a bordo de un cohete Falcon 9 de la empresa SpaceX. El lanzamiento marca un hito importante en la colaboración espacial europea: mientras Hisdesat ha liderado el desarrollo del satélite, la Agencia Espacial Europea (ESA) ha encabezado la creación de su avanzada carga útil de comunicaciones, que cuenta con una innovadora tecnología de antenas que permite una transmisión de datos más rápida, una mayor seguridad y la capacidad de dirigir con precisión los haces de comunicación allí donde sea necesario.

Con un peso de 6,1 toneladas y una altura de 7,2 metros, el nuevo satélite lleva un equipo especial que lo protege de las interferencias y garantiza que las comunicaciones sigan siendo privadas y seguras. Tras el lanzamiento, el satélite viajará hasta su posición final en órbita geoestacionaria a 35786 km sobre la Tierra, casi tres veces el diámetro de la Tierra misma. Una vez en su lugar, se someterá a pruebas de aceptación en órbita antes de entrar en funcionamiento.

https://www.esa.int/Space_in_Member_States/Spain/

https://actualidadaeroespacial.com/

Usted forma parte del equipo del SpainSat NG I que tiene que hacer los cálculos para controlar el satélite en su órbita por lo que:

1.1. Responda estos tres apartados. (1 punto)

1. Dibuje un esquema de la órbita del satélite, indicando la dirección y el sentido de la fuerza gravitatoria que experimenta el satélite.

2. Calcule la aceleración gravitatoria que experimenta el satélite.

3. Calcule la velocidad satélite en su órbita.

1.2. Indique y justifique la respuesta correcta. (0,5 puntos)

Si el satélite en la órbita alrededor de la Tierra pierde masa en su recorrido, su período de rotación:

1. se reduce en la misma proporción;

2. aumenta en esa proporción;

3. no varía.

1.3. Responda estos dos apartados. (1 punto)

1. Calcule el trabajo mínimo que es necesario realizar sobre el satélite para situarlo en la órbita circular geoestacionaria.

2. Calcule la velocidad mínima que necesita el satélite para abandonar esa órbita y alejarse definitivamente de la Tierra.

DATOS: $G=\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$; $R_T=\mathrm{6,37}\times {10}^6$ m; $M_T=\mathrm{5,98}\times {10}^{24}$ kg.

$\mathbf{\text{1.1.}}\mathbf{\text{Responda}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{apartados.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra, así que hay que sumarle el radio terrestre a la altura del enunciado:

$r=R_T+h=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+\mathrm{3,5786}\cdot {10}^7=\mathrm{4,2156}\cdot {10}^7\text{ m}$










La órbita geoestacionaria es circular y está en el plano del ecuador. La única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra: es una fuerza central, con la dirección de la recta que une el satélite con el centro de la Tierra y el sentido dirigido hacia dicho centro.

Al ser perpendicular a la velocidad en todo instante, esa fuerza no cambia el módulo de la velocidad: hace de fuerza centrípeta y curva la trayectoria.





La aceleración gravitatoria que experimenta el satélite es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa distancia:

$g=G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{4,2156}\cdot {10}^7{)}^2}}$

$g=\mathrm{0,224}{\text{m/s}}^2$

Para la velocidad orbital aplicamos el segundo principio de la dinámica de Newton al movimiento circular uniforme, donde la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{4,2156}\cdot {10}^7}}}=\mathrm{3,08}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La aceleración gravitatoria es $\mathrm{0,224}{\text{m/s}}^2$ y la velocidad orbital $\mathrm{3,08}\text{ km/s}$. Se comprueba que la órbita es realmente geoestacionaria, porque el período que resulta es un día:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{4,2156}\cdot {10}^7}{\mathrm{3,08}\cdot {10}^3}}=\mathrm{8,61}\cdot {10}^4\text{ s}=\mathrm{23,9}\text{ h}$

$\mathbf{\text{1.2.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{correcta.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La respuesta correcta es la 3: el período de rotación no varía.

De la igualdad entre la fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta, escribiendo la velocidad en función del período $v=2\pi r\mathrm{/}T$:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m}{r}}{\left({\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\right)}^2$

La masa $m$ del satélite aparece en los dos miembros y se simplifica:

$T^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{M}_T}}$

Esta es la tercera ley de Kepler. El período depende solo del radio de la órbita y de la masa del cuerpo central, la Tierra, y no de la masa del satélite. Por tanto, aunque el satélite pierda masa, mientras se mantenga en la misma órbita su período no cambia.

$\mathbf{\text{1.3.}}\mathbf{\text{Responda}}\mathbf{\text{estos}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{apartados.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El satélite tiene una masa de 6,1 toneladas:

$m=\mathrm{6,1}\text{ t}=\mathrm{6,1}\cdot {10}^3\text{ kg}$

1. El trabajo mínimo es el que se necesita para pasar del reposo en la superficie terrestre a la órbita geoestacionaria, es decir, la variación de energía mecánica entre las dos situaciones. En la superficie, en reposo, la energía es solo potencial; en la órbita, la energía mecánica de un satélite en órbita circular vale $-G{M}_{T}m\mathrm{/}2r$:

$W_{\text{m}\acute{\text{ı}}\text{n}}=E_m(\acute{\text{o}}\text{rbita})-E_m(\text{superficie})=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}-(-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{R_T}})$

$W_{\text{m}\acute{\text{ı}}\text{n}}=G{M}_{T}m({\displaystyle \frac{1}{R_T}}-{\displaystyle \frac{1}{2r}})$

$W_{\text{m}\acute{\text{ı}}\text{n}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot \mathrm{6,1}\cdot {10}^3({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot \mathrm{4,2156}\cdot {10}^7}})$

$W_{\text{m}\acute{\text{ı}}\text{n}}=\mathrm{3,53}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

El trabajo mínimo necesario es $\mathrm{3,53}\cdot {10}^{11}\text{ J}$. Se ha despreciado la energía cinética que el satélite ya tiene en la superficie por la rotación de la Tierra.

2. Para alejarse definitivamente de la Tierra, el satélite debe llegar al infinito con velocidad nula, es decir, su energía mecánica debe ser al menos cero. Como el campo gravitatorio es conservativo:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}=0$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{r}}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{4,2156}\cdot {10}^7}}}=\mathrm{4,35}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad mínima que necesita el satélite para abandonar la órbita y alejarse definitivamente es $\mathrm{4,35}\text{ km/s}$, es decir, $\sqrt{2}$ veces la velocidad orbital.