Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Los dos satélites de Marte, Fobos y Deimos, llevan el nombre de los hijos gemelos de Afrodita y Ares. En la mitología romana, Ares, dios de la guerra, se identifica con Marte. Los dos satélites tienen forma irregular, pero los podemos aproximar a una esfera de diámetro $\mathrm{22,2}\text{ km}$ para Fobos y de $\mathrm{12,6}\text{ km}$ para Deimos. Por tanto, comparados con la Luna, que tiene un diámetro de $3475\text{ km}$, son pequeños. El radio orbital medio (distancia entre los centros de los dos objetos) de Fobos alrededor de Marte es de $9377\text{ km}$ y su período de revolución es de 7 horas, 39 minutos y 14 segundos. Sabiendo que el radio orbital medio de Deimos es de $23460\text{ km}$, determine a partir de estos datos:

a) La masa de Marte y la intensidad del campo gravitatorio que Marte crea en su superficie. [1,25 puntos]

b) El período de revolución de Deimos alrededor de Marte y su energía mecánica. [1,25 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$; $M_{\text{Fobos}}=\mathrm{1,10}\cdot {10}^{16}\text{ kg}$; $M_{\text{Deimos}}=\mathrm{2,00}\cdot {10}^{15}\text{ kg}$; $R_{\text{Marte}}=3390\text{ km}$.

Nota: considere que los dos satélites describen una trayectoria circular alrededor de Marte.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Marte}}\mathbf{\text{crea}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{superficie.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La única fuerza que actúa sobre Fobos es la atracción gravitatoria de Marte, y como su órbita es circular esa fuerza hace de fuerza centrípeta. Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$G\frac{M{m}_F}{r_F^2}=m_F\frac{4{\pi }^2}{T_F^2}{r}_F$

Simplificando la masa de Fobos y despejando la masa de Marte:

$M=\frac{4{\pi }^2{r}_F^3}{G{T}_F^2}$

Obsérvese que la masa del satélite no interviene, de modo que los datos de $M_{\text{Fobos}}$ y $M_{\text{Deimos}}$ solo hacen falta para la energía del apartado siguiente.

Se pasan los datos a unidades del Sistema Internacional:

$r_F=9377\text{ km}=\mathrm{9,377}\cdot {10}^6\text{ m}$

$T_F=7\cdot 3600+39\cdot 60+14=27554\text{ s}$

$M=\frac{4{\pi }^2{(\mathrm{9,377}\cdot {10}^6)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 27{554}^2}$

$M=\mathrm{6,43}\cdot {10}^{23}\text{kg}$

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie es el campo creado por Marte a una distancia igual a su radio:

$g=\frac{GM}{R^2}=\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,43}\cdot {10}^{23}}{{(\mathrm{3,390}\cdot {10}^6)}^2}$

$g=\mathrm{3,73}{\text{m/s}}^2$

La masa de Marte es de $\mathrm{6,43}\cdot {10}^{23}\text{kg}$ y en su superficie el campo gravitatorio vale $\mathrm{3,73}\text{N/kg}$, poco más de la tercera parte del terrestre.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{revoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Deimos}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Despejando el período de la misma expresión, que no es sino la tercera ley de Kepler:

$T_D=2\pi \sqrt{\frac{r_D^3}{GM}}$

$r_D=23460\text{ km}=\mathrm{2,346}\cdot {10}^7\text{ m}$

$T_D=2\pi \sqrt{\frac{{(\mathrm{2,346}\cdot {10}^7)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,43}\cdot {10}^{23}}}=\mathrm{1,09}\cdot {10}^5\text{s}$

$T_D=\frac{\mathrm{1,09}\cdot {10}^5}{3600}=\mathrm{30,3}\text{ horas}$

Para la energía mecánica se usa la expresión de un satélite en órbita circular, en la que la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial:

$E_M=\frac{1}{2}{m}_D{v}^2-G\frac{M{m}_D}{r_D}=-\frac{GM{m}_D}{2r_D}$

$E_M=-\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{6,43}\cdot {10}^{23}\cdot \mathrm{2,00}\cdot {10}^{15}}{2\cdot \mathrm{2,346}\cdot {10}^7}$

$E_M=-\mathrm{1,83}\cdot {10}^{21}\text{J}$

Deimos tarda unas $\mathrm{30,3}\text{ horas}$ en dar una vuelta a Marte y su energía mecánica es de $-\mathrm{1,83}\cdot {10}^{21}\text{J}$. Es negativa, como corresponde a un satélite ligado al planeta.